Capítulo IV.

Sobre las cadenas de razonamiento y las ciencias deductivas.

§ 1. En nuestro análisis del silogismo, se observó que la premisa menor siempre afirma una semejanza entre un caso nuevo y algunos casos previamente conocidos; mientras que la premisa mayor sostiene algo que, habiéndose encontrado verdadero en esos casos conocidos, consideramos justificado sostener como verdadero en cualquier otro caso que se asemeje a los anteriores en ciertos aspectos determinados.

Si todos los razonamientos se parecieran, en cuanto a la premisa menor, a los ejemplos que se emplearon exclusivamente en el capítulo anterior; si la semejanza que esa premisa afirma fuera evidente para los sentidos, como en la proposición “Sócrates es un hombre”, o pudiera determinarse de inmediato mediante observación directa; no habría necesidad de cadenas de razonamiento, y las ciencias deductivas o racionativas no existirían. Las cadenas de razonamiento existen únicamente con el fin de extender una inducción fundada, como todas las inducciones deben estarlo, en casos observados, a otros casos en los que no solo no podemos observar directamente el hecho que se va a probar, sino que tampoco podemos observar directamente siquiera la señal que ha de probarlo.

§ 2. Supongamos el siguiente silogismo: Todas las vacas rumian, el animal que está ante mí es una vaca, por lo tanto, rumia. La menor, si es verdadera, lo es de manera evidente: la única premisa cuya comprobación requiere algún proceso previo de investigación es la mayor; y siempre que la inducción de la que esa premisa es expresión se haya realizado correctamente, la conclusión respecto al animal presente se obtendrá de inmediato; porque, tan pronto como se le compare con la fórmula, se le identificará como incluido en ella. Pero supongamos el siguiente silogismo: Todo el arsénico es venenoso, la sustancia que está ante mí es arsénico, por lo tanto, es venenosa. La verdad de la menor aquí puede no ser evidente a primera vista; puede no ser intuitivamente obvia, sino que puede conocerse solo por inferencia. Puede ser la conclusión de otro argumento que, puesto en forma silogística, sería así: Todo lo que, al encenderse, produce una mancha oscura en un trozo de porcelana blanca sostenido en la llama, mancha que es soluble en hipoclorito de calcio, es arsénico; la sustancia ante mí cumple esta condición; por lo tanto, es arsénico. Para establecer, entonces, la conclusión final, La sustancia ante mí es venenosa, se requiere un proceso que, para ser expresado silogísticamente, necesita de dos silogismos; y así tenemos una cadena de razonamiento.

Sin embargo, cuando añadimos silogismo a silogismo, en realidad estamos añadiendo inducción a inducción. Deben haberse producido dos inducciones separadas para que esta cadena de inferencias sea posible; inducciones fundadas, probablemente, en diferentes conjuntos de casos individuales, pero que convergen en sus resultados, de modo que el caso objeto de estudio queda comprendido en ambas. El registro de estas inducciones se encuentra en las premisas mayores de los dos silogismos. Primero, nosotros, o bien otros por nosotros, hemos examinado varios objetos que, bajo las circunstancias dadas, producían una mancha oscura con la propiedad señalada, y se encontró que poseían las propiedades connotadas por la palabra arsénico; eran metálicos, volátiles, su vapor tenía olor a ajo, y así sucesivamente. Luego, nosotros, o bien otros por nosotros, hemos examinado varios ejemplares que poseían este carácter metálico y volátil, cuyo vapor tenía ese olor, etc., y se ha encontrado invariablemente que eran venenosos. El primer hecho observamos que puede extenderse a todas las sustancias que produzcan ese tipo particular de mancha oscura; el segundo, a todas las sustancias metálicas y volátiles semejantes a las que examinamos; y, en consecuencia, no solo a aquellas que se ven como tales, sino también a las que se concluye que lo son por la inducción anterior. La sustancia ante nosotros solo se ve comprendida en una de estas inducciones; pero, mediante esta, se la incluye en la otra. Seguimos, como antes, concluyendo de particulares a particulares; pero ahora concluimos de particulares observados a otros particulares que no, como en el caso simple, se ven semejantes en aspectos materiales, sino que se infiere que lo son, porque se asemejan en algo más, que hemos llegado a considerar, por un conjunto de casos completamente diferente, como señal de la primera semejanza.

Este primer ejemplo de una cadena de razonamiento es aún sumamente simple, pues la serie consta solo de dos silogismos. El siguiente es algo más complicado: Ningún gobierno que busque sinceramente el bien de sus súbditos es probable que sea derrocado; cierto gobierno en particular busca sinceramente el bien de sus súbditos, por lo tanto, no es probable que sea derrocado. Supondremos que la premisa mayor de este argumento no se deriva de consideraciones a priori, sino que es una generalización basada en la historia, que, sea correcta o errónea, debió fundarse en la observación de gobiernos respecto de los cuales no había duda sobre su deseo del bien de sus súbditos. Se ha encontrado, o se ha creído encontrar, que estos no eran fácilmente derrocados, y se ha considerado que esos casos justificaban la extensión del mismo predicado a cualquier gobierno que se asemeje a ellos en el atributo de desear sinceramente el bien de sus súbditos. Pero, ¿se asemeja así el gobierno en cuestión? Esto puede debatirse a favor y en contra mediante muchos argumentos, y debe, en cualquier caso, probarse mediante otra inducción; pues no podemos observar directamente los sentimientos y deseos de quienes ejercen el gobierno. Para probar la menor, por lo tanto, necesitamos un argumento de esta forma: Todo gobierno que actúa de cierta manera, desea el bien de sus súbditos; el gobierno supuesto actúa de esa manera particular, por lo tanto, desea el bien de sus súbditos. Pero, ¿es cierto que el gobierno actúa como se supone? Esta menor también puede requerir prueba; aún otra inducción, así: Lo que es afirmado por testigos inteligentes y desinteresados puede creerse verdadero; que el gobierno actúa de este modo es afirmado por tales testigos, por lo tanto, puede creerse verdadero. El argumento, por tanto, consta de tres pasos. Teniendo la evidencia de nuestros sentidos de que el caso del gobierno considerado se asemeja a varios casos anteriores en el hecho de que algo ha sido afirmado sobre él por testigos inteligentes y desinteresados, inferimos, primero, que, como en esos casos anteriores, también en este la afirmación es verdadera. En segundo lugar, lo que se afirmó del gobierno es que actúa de cierta manera, y se ha observado que otros gobiernos o personas actúan del mismo modo, por lo que el gobierno en cuestión se asimila a esos otros gobiernos o personas; y dado que se sabía que ellos deseaban el bien del pueblo, se infiere, mediante una segunda inducción, que el gobierno particular mencionado desea el bien del pueblo. Esto hace que ese gobierno se asemeje a los otros gobiernos que se consideraban poco propensos a ser derrocados, y así, mediante una tercera inducción, se concluye que este gobierno en particular también es poco probable que sea derrocado. Esto sigue siendo razonar de particulares a particulares, pero ahora razonamos sobre el nuevo caso a partir de tres conjuntos distintos de casos anteriores: solo en uno de esos conjuntos percibimos directamente la semejanza con el nuevo caso; pero a partir de esa semejanza inferimos inductivamente que posee el atributo por el que se asimila al siguiente conjunto y queda incluido en la inducción correspondiente; después, repitiendo la misma operación, inferimos que es semejante al tercer conjunto, y así una tercera inducción nos conduce a la conclusión final.

§ 3. A pesar de la mayor complejidad de estos ejemplos, en comparación con aquellos mediante los cuales ilustramos la teoría general del razonamiento en el capítulo anterior, toda doctrina que entonces expusimos es igualmente válida en estos casos más intrincados. Las proposiciones generales sucesivas no son pasos en el razonamiento, no son eslabones intermedios en la cadena de inferencia entre los casos particulares observados y aquellos a los que aplicamos la observación. Si tuviéramos memorias lo suficientemente amplias y una capacidad suficiente para mantener el orden entre una enorme cantidad de detalles, el razonamiento podría desarrollarse sin ninguna proposición general; estas son meras fórmulas para inferir particulares a partir de particulares. El principio del razonamiento general es (como se explicó antes), que si, a partir de la observación de ciertos particulares conocidos, lo que se vio que era verdadero de ellos puede inferirse que es verdadero de otros, puede inferirse de todos los demás que posean cierta descripción. Y para que nunca dejemos de sacar esta conclusión en un caso nuevo cuando pueda hacerse correctamente, y evitemos hacerlo cuando no corresponda, determinamos de una vez por todas cuáles son las señales distintivas por las que tales casos pueden ser reconocidos. El proceso posterior consiste simplemente en identificar un objeto y constatar que posee esas señales; ya sea que lo identifiquemos por las propias señales, o por otras que hemos determinado (mediante otro proceso similar) que son señales de esas señales. La verdadera inferencia es siempre de particulares a particulares, de los casos observados a uno no observado: pero al hacer esta inferencia, nos ajustamos a una fórmula que hemos adoptado para guiarnos en tales operaciones, y que es un registro de los criterios por los cuales creímos haber determinado cuándo la inferencia podía o no podía hacerse. Las verdaderas premisas son las observaciones individuales, aunque puedan haber sido olvidadas, o, siendo observaciones de otros y no nuestras, puede que nunca las hayamos conocido: pero tenemos ante nosotros la prueba de que nosotros u otros alguna vez las consideramos suficientes para una inducción, y tenemos señales para mostrar si algún caso nuevo es uno de aquellos a los que, de haber sido conocido entonces, se habría considerado que la inducción se extendía. Estas señales las reconocemos de inmediato, o con la ayuda de otras señales, que por otra inducción previa reunimos como señales de las primeras. Incluso estas señales de señales pueden ser reconocidas solo a través de un tercer conjunto de señales; y podemos tener una cadena de razonamiento, de cualquier longitud, para incluir un caso nuevo dentro del alcance de una inducción basada en particulares cuya similitud solo se determina de este modo indirecto.

Así, en el ejemplo anterior, la inferencia inductiva final era que cierto gobierno no era probable que fuera derrocado; esta inferencia se obtuvo de acuerdo con una fórmula en la que el deseo del bien público se establecía como señal de no ser probable que fuera derrocado; una señal de esta señal era actuar de una manera particular; y una señal de actuar de esa manera era que testigos inteligentes y desinteresados afirmaran que así se actuaba: esta señal, se reconoció sensorialmente que el gobierno en cuestión la poseía. Por lo tanto, ese gobierno quedaba comprendido en la última inducción, y por ella se incluía en todas las demás. La semejanza percibida del caso con un conjunto de casos particulares observados lo llevó a una semejanza conocida con otro conjunto, y ese con un tercero.

En las ramas más complejas del conocimiento, las deducciones rara vez consisten, como en los ejemplos mostrados hasta ahora, en una sola cadena, a es señal de b, b de c, c de d, por lo tanto a es señal de d. Consisten (para seguir con la misma metáfora) en varias cadenas unidas en el extremo, así: a es señal de d, b de e, c de f, d e f de n, por lo tanto a b c es señal de n. Supongamos, por ejemplo, la siguiente combinación de circunstancias: 1º, rayos de luz incidiendo sobre una superficie reflectante; 2º, esa superficie es parabólica; 3º, esos rayos son paralelos entre sí y al eje de la superficie. Debe demostrarse que la concurrencia de estas tres circunstancias es señal de que los rayos reflejados pasarán por el foco de la superficie parabólica. Ahora bien, cada una de las tres circunstancias es por sí sola señal de algo relevante para el caso. Los rayos de luz que inciden sobre una superficie reflectante son señal de que esos rayos serán reflejados en un ángulo igual al ángulo de incidencia. La forma parabólica de la superficie es señal de que, desde cualquier punto de ella, una línea trazada al foco y una línea paralela al eje formarán ángulos iguales con la superficie. Y finalmente, el paralelismo de los rayos con el eje es señal de que su ángulo de incidencia coincide con uno de esos ángulos iguales. Las tres señales tomadas en conjunto son, por lo tanto, señal de todas estas tres cosas unidas. Pero las tres unidas son evidentemente señal de que el ángulo de reflexión debe coincidir con el otro de los dos ángulos iguales, el que forma una línea trazada al foco; y esto, a su vez, según el axioma fundamental sobre líneas rectas, es señal de que los rayos reflejados pasan por el foco. La mayoría de las cadenas de deducción física son de este tipo más complicado; e incluso en matemáticas abundan, como en todas las proposiciones en las que la hipótesis incluye numerosas condiciones: "Si se toma un círculo, y si dentro de ese círculo se toma un punto, que no sea el centro, y si se trazan líneas rectas desde ese punto hasta la circunferencia, entonces", etcétera.

§ 4. Las consideraciones ahora expuestas eliminan una dificultad seria de la visión que hemos adoptado sobre el razonamiento; visión que de otro modo podría haber parecido difícil de reconciliar con el hecho de que existen ciencias deductivas o racionativas. Podría parecer que, si todo razonamiento es inducción, las dificultades de la investigación filosófica deben residir exclusivamente en las inducciones, y que cuando estas son fáciles y no suscitan duda ni vacilación, no podría haber ciencia, o al menos, no habría dificultades en la ciencia. La existencia, por ejemplo, de una extensa ciencia matemática, que requiere el más alto genio científico en quienes contribuyeron a su creación, y que exige un esfuerzo intelectual continuo y vigoroso para apropiársela una vez creada, puede parecer difícil de explicar según la teoría anterior. Pero las consideraciones expuestas más recientemente eliminan el misterio, al mostrar que, incluso cuando las inducciones mismas son evidentes, puede haber mucha dificultad en averiguar si el caso particular que es objeto de estudio se encuentra dentro de ellas; y amplio margen para la ingeniosidad científica al combinar diversas inducciones de tal modo que, mediante una en la que el caso evidentemente encaja, se logre incluirlo en otras en las que no puede verse directamente que esté comprendido.

Cuando se han realizado las inducciones más evidentes que pueden hacerse en cualquier ciencia a partir de observaciones directas, y se han formulado reglas generales que determinan los límites dentro de los cuales estas inducciones son aplicables, cada vez que se puede ver de inmediato que un nuevo caso entra dentro de una de las fórmulas, la inducción se aplica al nuevo caso y el asunto queda resuelto. Pero continuamente surgen nuevos casos que no entran de manera obvia en ninguna fórmula mediante la cual se pueda responder la cuestión que queremos resolver respecto a ellos. Tomemos un ejemplo de la geometría: y como se utiliza solo para ilustrar, que el lector nos conceda por ahora, lo que intentaremos demostrar en el próximo capítulo, que los primeros principios de la geometría son resultados de la inducción. Nuestro ejemplo será la quinta proposición del primer libro de Euclides. La cuestión es: ¿son los ángulos en la base de un triángulo isósceles iguales o desiguales? Lo primero que debe considerarse es, qué inducciones tenemos a partir de las cuales podemos inferir igualdad o desigualdad. Para inferir igualdad tenemos las siguientes fórmulas: Las cosas que, al aplicarse una a otra, coinciden, son iguales. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales. Un todo y la suma de sus partes son iguales. Las sumas de cosas iguales son iguales. Las diferencias de cosas iguales son iguales. No hay otras fórmulas originales para probar la igualdad. Para inferir desigualdad tenemos las siguientes: Un todo y sus partes son desiguales. Las sumas de cosas iguales y desiguales son desiguales. Las diferencias de cosas iguales y desiguales son desiguales. En total, ocho fórmulas. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles no entran de manera obvia en ninguna de estas. Las fórmulas especifican ciertas señales de igualdad y de desigualdad, pero no se puede percibir intuitivamente que los ángulos tengan alguna de esas señales. Al examinar, resulta que sí las tienen; y finalmente logramos incluirlos en la fórmula: “Las diferencias de cosas iguales son iguales”. ¿De dónde proviene la dificultad de reconocer estos ángulos como las diferencias de cosas iguales? Porque cada uno de ellos es la diferencia no solo de un par, sino de innumerables pares de ángulos; y de entre estos tuvimos que imaginar y seleccionar dos, que pudieran ser percibidos intuitivamente como iguales, o que poseyeran alguna de las señales de igualdad establecidas en las diversas fórmulas. Mediante un ejercicio de ingenio que, por parte del primer inventor, merece ser considerado considerable, se encontraron dos pares de ángulos que reunían estos requisitos. Primero, se podía percibir intuitivamente que sus diferencias eran los ángulos en la base; y, en segundo lugar, poseían una de las señales de igualdad, a saber, la coincidencia al aplicarse uno sobre otro. Sin embargo, esta coincidencia no se percibía intuitivamente, sino que se infería, de acuerdo con otra fórmula.

Para mayor claridad, adjunto un análisis de la demostración. Se recordará que Euclides demuestra su quinta proposición mediante la cuarta. Esto no nos está permitido, porque nos proponemos rastrear las verdades deductivas no hasta deducciones previas, sino hasta su fundamento inductivo original. Por lo tanto, debemos usar las premisas de la cuarta proposición en lugar de su conclusión, y probar la quinta directamente desde los primeros principios. Para hacerlo se requieren seis fórmulas. (Suponemos un triángulo equilátero, cuyos vértices son A, D, E, con el punto B en el lado AD, y el punto C en el lado AE, de modo que BC es paralelo a DE. Debemos comenzar, como en Euclides, prolongando los lados iguales AB, AC, a distancias iguales, y uniendo los extremos BE, DC).

PRIMERA FÓRMULA.—Las sumas de iguales son iguales.

AD y AE son sumas de iguales por suposición. Teniendo esa señal de igualdad, se concluye por esta fórmula que son iguales.

SEGUNDA FÓRMULA.—Las líneas rectas o ángulos iguales, al aplicarse uno sobre otro, coinciden.

AC, AB, están dentro de esta fórmula por suposición; AD, AE, han sido incluidas en ella por el paso anterior. El ángulo en A considerado como un ángulo del triángulo ABE, y el mismo ángulo considerado como un ángulo del triángulo ACD, por supuesto están dentro de la fórmula. Todos estos pares, por lo tanto, poseen la propiedad que, según la segunda fórmula, es una señal de que al aplicarse uno sobre otro coincidirán. Imagínelos, entonces, aplicados uno sobre otro, girando el triángulo ABE y colocándolo sobre el triángulo ACD de tal manera que AB de uno quede sobre AC del otro. Entonces, por la igualdad de los ángulos, AE quedará sobre AD. Pero AB y AC, AE y AD son iguales; por lo tanto, coincidirán totalmente, y por supuesto en sus extremos, D, E, y B, C.

TERCERA FÓRMULA.—Las líneas rectas, cuyos extremos coinciden, coinciden.

BE y CD han sido incluidas en esta fórmula por la inducción anterior; por lo tanto, coincidirán.

CUARTA FÓRMULA.—Los ángulos, cuyos lados coinciden, coinciden.

La tercera inducción ha mostrado que BE y CD coinciden, y la segunda que AB, AC, coinciden, por lo que los ángulos ABE y ACD quedan incluidos en la cuarta fórmula, y por lo tanto coinciden.

QUINTA FÓRMULA.—Las cosas que coinciden son iguales.

Los ángulos ABE y ACD quedan incluidos en esta fórmula por la inducción inmediatamente anterior. Este razonamiento también es aplicable, mutatis mutandis, a los ángulos EBC, DCB, que también quedan incluidos en la quinta fórmula. Y, finalmente,

SEXTA FÓRMULA.—Las diferencias de iguales son iguales.

El ángulo ABC es la diferencia de ABE, CBE, y el ángulo ACB es la diferencia de ACD, DCB; que han sido probados como iguales; ABC y ACB quedan incluidos en la última fórmula por todo el proceso anterior.

La dificultad aquí encontrada es principalmente la de figurarnos los dos ángulos en la base del triángulo ABC como restos hechos al cortar un par de ángulos de otro, donde cada par sea de ángulos correspondientes de triángulos que tienen dos lados y el ángulo intermedio iguales. Es mediante este ingenioso recurso que tantas inducciones diferentes se aplican al mismo caso particular. Y como esto no es en absoluto un pensamiento obvio, puede verse a partir de un ejemplo tan cercano al umbral de las matemáticas, cuán amplio puede ser el campo para la destreza científica en las ramas superiores de esa y otras ciencias, para combinar unas pocas inducciones simples de modo que incluyan en cada una de ellas innumerables casos que no están incluidos de manera obvia; y cuán largos, numerosos y complicados pueden ser los procesos necesarios para reunir las inducciones, incluso cuando cada inducción en sí misma puede ser muy fácil y simple. Todas las inducciones involucradas en toda la geometría se comprenden en esas simples, cuyas fórmulas son los Axiomas y algunas de las llamadas Definiciones. El resto de la ciencia se compone de los procesos empleados para incluir casos imprevistos dentro de estas inducciones; o (en lenguaje silogístico) para probar los menores necesarios para completar los silogismos; siendo los mayores las definiciones y axiomas. En esas definiciones y axiomas se establecen todas las señales, mediante una combinación ingeniosa de las cuales se ha encontrado posible descubrir y probar todo lo que se prueba en geometría. Siendo tan pocas las señales, y tan obvias y familiares las inducciones que las proporcionan; la conexión de varias de ellas, que constituye las Deducciones, o Cadenas de Razonamiento, forma toda la dificultad de la ciencia y, con una pequeña excepción, su totalidad; y de ahí que la Geometría sea una Ciencia Deductiva.

§ 5. Más adelante se verá(67) que existen razones científicas de peso para conferir a toda ciencia tanto del carácter de una Ciencia Deductiva como sea posible; para procurar construir la ciencia a partir de las inducciones más simples y escasas posibles, y hacer que éstas, mediante combinaciones por complejas que sean, basten para demostrar incluso aquellas verdades, relativas a casos complejos, que podrían ser probadas, si se quisiera, por inducciones a partir de experiencias específicas. Cada rama de la filosofía natural fue originalmente experimental; cada generalización se apoyaba en una inducción particular, y se derivaba de su propio conjunto específico de observaciones y experimentos. De ser ciencias de puro experimento, como suele decirse, o, para hablar con mayor precisión, ciencias en las que los razonamientos consisten en su mayoría en un solo paso, y se expresan mediante silogismos simples, todas estas ciencias han llegado a ser, en cierta medida, y algunas de ellas en casi toda su extensión, ciencias de puro razonamiento; de modo que multitud de verdades, ya conocidas por inducción a partir de diferentes conjuntos de experimentos, han llegado a presentarse como deducciones o corolarios de proposiciones inductivas de carácter más simple y universal. Así, la mecánica, la hidrostática, la óptica, la acústica y la termología han sido sucesivamente matematizadas; y la astronomía fue incluida por Newton dentro de las leyes generales de la mecánica. Por qué la sustitución de este procedimiento indirecto por un proceso aparentemente mucho más fácil y natural se considera, y con razón, el mayor triunfo en la investigación de la naturaleza, no estamos aún, en esta etapa de nuestra indagación, preparados para examinarlo. Pero es necesario señalar que, aunque mediante esta transformación progresiva todas las ciencias tienden a volverse cada vez más deductivas, no por ello dejan de ser inductivas; cada paso en la deducción sigue siendo una inducción. La oposición no es entre los términos deductivo e inductivo, sino entre deductivo y experimental. Una ciencia es experimental en la medida en que cada nuevo caso que presenta alguna característica peculiar requiere un nuevo conjunto de observaciones y experimentos—una nueva inducción. Es deductiva en la medida en que puede extraer conclusiones, respecto de casos de nueva índole, mediante procesos que sitúan esos casos bajo antiguas inducciones; comprobando que casos que no pueden observarse con las marcas requeridas, poseen, sin embargo, marcas de esas marcas.

Podemos ahora, por tanto, percibir cuál es la distinción genérica entre las ciencias que pueden hacerse deductivas y aquellas que, por ahora, deben permanecer experimentales. La diferencia consiste en haber sido capaces, o no aún, de descubrir marcas de marcas. Si mediante nuestras diversas inducciones no hemos podido avanzar más allá de proposiciones como estas: a es marca de b, o a y b son marcas entre sí, c es marca de d, o c y d son marcas entre sí, sin nada que conecte a o b con c o d; tenemos una ciencia de generalizaciones aisladas y mutuamente independientes, como estas: que los ácidos enrojecen los azules vegetales, y que los álcalis los tornan verdes; de ninguna de estas proposiciones podríamos, directa o indirectamente, inferir la otra: y una ciencia, en la medida en que se compone de tales proposiciones, es puramente experimental. La química, en el estado actual de nuestro conocimiento, aún no ha abandonado este carácter. Hay, sin embargo, otras ciencias cuyas proposiciones son de este tipo: a es marca de b, b es marca de c, c de d, d de e, etc. En estas ciencias podemos ascender la escalera de a a e mediante un proceso de razonamiento; podemos concluir que a es marca de e, y que todo objeto que tenga la marca a posee la propiedad e, aunque, tal vez, nunca hayamos podido observar a y e juntos, e incluso aunque d, nuestra única marca directa de e, no sea perceptible en esos objetos, sino solo inferible. O, variando la primera metáfora, podríamos decir que llegamos de a a e por debajo de la superficie: las marcas b, c, d, que indican la ruta, deben estar presentes en alguna parte en los objetos sobre los que indagamos; pero están bajo la superficie: a es la única marca visible, y por medio de ella podemos rastrear sucesivamente todas las demás.

§ 6. Ahora podemos entender cómo una ciencia experimental puede transformarse en una ciencia deductiva por el mero progreso del experimento. En una ciencia experimental, las inducciones, como hemos dicho, están aisladas, como: a es marca de b, c es marca de d, e es marca de f, y así sucesivamente; ahora bien, un nuevo conjunto de casos, y una consecuente nueva inducción, pueden en cualquier momento tender un puente sobre el intervalo entre dos de estos arcos desconectados; por ejemplo, puede determinarse que b es marca de c, lo que nos permite de ahí en adelante probar deductivamente que a es marca de c. O bien, como sucede a veces, alguna inducción abarcadora puede elevar un arco alto en el aire, que cubre de una vez a muchos de ellos; b, d, f y todos los demás resultan ser marcas de una sola cosa, o de cosas entre las que ya se ha trazado una conexión. Como cuando Newton descubrió que los movimientos, ya sean regulares o aparentemente anómalos, de todos los cuerpos del sistema solar (cada uno de los cuales había sido inferido mediante una operación lógica separada, a partir de marcas distintas), eran todos marcas de moverse alrededor de un centro común, con una fuerza centrípeta que varía directamente con la masa e inversamente con el cuadrado de la distancia a ese centro. Este es el mayor ejemplo que hasta ahora se ha dado de la transformación, de un solo golpe, de una ciencia que aún era en gran medida meramente experimental, en una ciencia deductiva.

Transformaciones de la misma naturaleza, aunque a menor escala, ocurren continuamente en las ramas menos avanzadas del conocimiento físico, sin que ello les permita abandonar el carácter de ciencias experimentales. Así, respecto de las dos proposiciones desconectadas antes citadas, a saber, los ácidos enrojecen los azules vegetales, los álcalis los tornan verdes; Liebig observa que todas las materias colorantes azules que son enrojecidas por los ácidos (así como, recíprocamente, todas las materias colorantes rojas que son tornadas azules por los álcalis) contienen nitrógeno: y es perfectamente posible que esta circunstancia algún día proporcione un vínculo de conexión entre las dos proposiciones en cuestión, mostrando que la acción antagónica de los ácidos y los álcalis en producir o destruir el color azul es el resultado de alguna ley más general. Aunque esta conexión de generalizaciones aisladas representa un avance, contribuye poco a conferir un carácter deductivo a una ciencia en su conjunto; porque los nuevos cursos de observación y experimento, que así nos permiten conectar algunas verdades generales, suelen darnos a conocer un número aún mayor de nuevas verdades no conectadas. De ahí que la química, aunque tales extensiones y simplificaciones de sus generalizaciones ocurren continuamente, siga siendo en lo fundamental una ciencia experimental; y probablemente así continúe, a menos que en el futuro se alcance alguna inducción abarcadora que, como la de Newton, conecte una gran cantidad de las pequeñas inducciones conocidas y cambie de una vez todo el método de la ciencia. La química ya posee una gran generalización que, aunque se refiere a uno de los aspectos secundarios de los fenómenos químicos, posee dentro de su limitado ámbito este carácter abarcador; el principio de Dalton, llamado la teoría atómica, o la doctrina de los equivalentes químicos: que, al permitirnos en cierta medida prever las proporciones en que dos sustancias se combinarán antes de realizar el experimento, constituye indudablemente una fuente de nuevas verdades químicas obtenibles por deducción, así como un principio de conexión para todas las verdades del mismo tipo previamente obtenidas por experimento.

§ 7. Los descubrimientos que transforman el método de una ciencia de experimental a deductivo, consisten en su mayoría en establecer, ya sea por deducción o por experimento directo, que las variedades de un fenómeno particular acompañan de manera uniforme a las variedades de algún otro fenómeno mejor conocido. Así, la ciencia del sonido, que antes ocupaba el rango más bajo de las ciencias meramente experimentales, se volvió deductiva cuando se demostró experimentalmente que toda variedad de sonido era consecuencia, y por lo tanto indicio, de una variedad distinta y definible de movimiento oscilatorio entre las partículas del medio transmisor. Una vez establecido esto, se dedujo que toda relación de sucesión o coexistencia que se daba entre los fenómenos de la clase más conocida, se daba también entre los fenómenos correspondientes en la otra clase. Cada sonido, al ser indicio de un movimiento oscilatorio particular, se convirtió en indicio de todo aquello que, según las leyes de la dinámica, se sabía que podía inferirse de ese movimiento; y todo lo que por esas mismas leyes era indicio de algún movimiento oscilatorio entre las partículas de un medio elástico, se convirtió en indicio del sonido correspondiente. Así, muchas verdades antes insospechadas sobre el sonido se volvieron deducibles a partir de las leyes conocidas de la propagación del movimiento a través de un medio elástico; mientras que hechos ya conocidos empíricamente respecto al sonido, se convirtieron en indicios de propiedades correspondientes de cuerpos vibrantes, antes desconocidas.

Pero el gran agente para transformar las ciencias experimentales en deductivas es la ciencia del número. Las propiedades del número, a diferencia de todos los demás fenómenos conocidos, son, en el sentido más riguroso, propiedades de todas las cosas sin excepción. No todas las cosas son coloridas, ponderables o incluso extensas; pero todas las cosas son numerables. Y si consideramos esta ciencia en toda su extensión, desde la aritmética común hasta el cálculo de variaciones, las verdades ya establecidas parecen casi infinitas, y admiten una extensión indefinida.

Estas verdades, aunque afirmables de todas las cosas sin excepción, por supuesto solo se aplican a ellas en lo que respecta a su cantidad. Pero si se descubre que las variaciones de calidad en cualquier clase de fenómenos corresponden regularmente a variaciones de cantidad, ya sea en esos mismos fenómenos o en otros, toda fórmula matemática aplicable a cantidades que varían de esa manera particular se convierte en indicio de una verdad general correspondiente respecto a las variaciones de calidad que las acompañan; y siendo la ciencia de la cantidad (en la medida en que cualquier ciencia puede serlo) completamente deductiva, la teoría de ese tipo particular de cualidades se vuelve, en ese sentido, también deductiva.

El ejemplo más notable que ofrece la historia al respecto (aunque no es un caso de una ciencia experimental convertida en deductiva, sino de una extensión sin precedentes del proceso deductivo en una ciencia que ya era deductiva), es la revolución en la geometría que se originó con Descartes y fue completada por Clairaut. Estos grandes matemáticos señalaron la importancia del hecho de que a cada variedad de posición en puntos, dirección en líneas o forma en curvas o superficies (todas ellas Cualidades), corresponde una relación peculiar de cantidad entre dos o tres coordenadas rectilíneas; de modo que, si se conociera la ley según la cual esas coordenadas varían entre sí, toda otra propiedad geométrica de la línea o superficie en cuestión, ya sea relativa a cantidad o calidad, podría ser inferida. De ahí se dedujo que toda cuestión geométrica podía resolverse si la correspondiente cuestión algebraica podía serlo; y la geometría recibió un aporte (real o potencial) de nuevas verdades, correspondientes a cada propiedad de los números que el progreso del cálculo había revelado o pudiera revelar en el futuro. De manera similar, la mecánica, la astronomía y, en menor grado, toda rama de la filosofía natural comúnmente llamada así, se han vuelto algebraicas. Se ha encontrado que las variedades de los fenómenos físicos con los que tratan esas ciencias corresponden a variedades determinables en la cantidad de alguna circunstancia u otra; o al menos a variedades de forma o posición, para las cuales los geómetras ya habían descubierto, o eran susceptibles de descubrir, ecuaciones de cantidad correspondientes.

En estas diversas transformaciones, las proposiciones de la ciencia del número no hacen más que cumplir la función propia de todas las proposiciones que forman una cadena de razonamiento, es decir, la de permitirnos llegar de manera indirecta, por medio de indicios de indicios, a aquellas propiedades de los objetos que no podemos determinar directamente (o no tan convenientemente) mediante la experimentación. Partimos de un hecho visible o tangible dado, atravesamos las verdades de los números, hasta llegar a los hechos buscados. El hecho dado es indicio de que existe cierta relación entre las cantidades de algunos de los elementos involucrados; mientras que el hecho buscado presupone cierta relación entre las cantidades de otros elementos: ahora bien, si estas últimas cantidades dependen de alguna manera conocida de las primeras, o viceversa, podemos razonar a partir de la relación numérica entre un conjunto de cantidades para determinar la que existe entre el otro conjunto; los teoremas del cálculo proporcionan los eslabones intermedios. Así, uno de los dos hechos físicos se convierte en indicio del otro, al ser indicio de un indicio de un indicio de él.