Capítulo VI.

El mismo tema continúa.

§ 1. En el examen que constituyó el tema del último capítulo, acerca de la naturaleza de la evidencia de aquellas ciencias deductivas que comúnmente se presentan como sistemas de verdades necesarias, hemos llegado a las siguientes conclusiones. Los resultados de esas ciencias son, en efecto, necesarios, en el sentido de que necesariamente se derivan de ciertos primeros principios, comúnmente llamados axiomas y definiciones; es decir, que son ciertamente verdaderos si esos axiomas y definiciones lo son; pues la palabra necesidad, incluso en esta acepción, no significa más que certeza. Pero su pretensión al carácter de necesidad en cualquier sentido más allá de esto, como implicando una evidencia independiente y superior a la observación y la experiencia, debe depender del establecimiento previo de tal pretensión en favor de las definiciones y axiomas mismos. En cuanto a los axiomas, encontramos que, considerados como verdades experimentales, descansan en una evidencia superabundante y obvia. Indagamos si, dado este hecho, es imprescindible suponer alguna otra evidencia de esas verdades que no sea la evidencia experimental, o algún otro origen para nuestra creencia en ellas que no sea un origen experimental. Decidimos que la carga de la prueba recae en quienes sostienen la afirmativa, y examinamos, con considerable detalle, los argumentos que han presentado. Tras rechazar dichos argumentos, nos consideramos justificados para concluir que los axiomas no son más que una clase, la más universal, de inducciones a partir de la experiencia; los casos más simples y fáciles de generalización a partir de los hechos que nos proporcionan nuestros sentidos o nuestra conciencia interna.

Mientras que los axiomas de las ciencias demostrativas así parecían ser verdades experimentales, las definiciones, como erróneamente se les llama en esas ciencias, resultaron ser para nosotros generalizaciones de la experiencia que ni siquiera, hablando con propiedad, son verdades; siendo proposiciones en las que, al afirmar de algún tipo de objeto, alguna propiedad o propiedades que la observación muestra que le pertenecen, al mismo tiempo negamos que posea cualquier otra propiedad, aunque en realidad otras propiedades acompañan en cada caso individual, y en casi todos los casos modifican, la propiedad así predicada de manera exclusiva. Por tanto, la negación es una mera ficción, o suposición, hecha con el propósito de excluir la consideración de esas circunstancias modificadoras, cuando su influencia es demasiado insignificante como para ser tomada en cuenta, o de posponerla, cuando es importante, para un momento más conveniente.

De estas consideraciones parecería que las Ciencias Deductivas o Demostrativas son todas, sin excepción, Ciencias Inductivas; que su evidencia es la de la experiencia; pero que también son, en virtud del carácter peculiar de una porción indispensable de las fórmulas generales según las cuales se hacen sus inducciones, Ciencias Hipotéticas. Sus conclusiones solo son verdaderas bajo ciertas suposiciones, que son, o deberían ser, aproximaciones a la verdad, pero rara vez, si acaso, son exactamente verdaderas; y a este carácter hipotético se debe la certeza peculiar que se supone inherente a la demostración.

Sin embargo, lo que ahora hemos afirmado no puede ser aceptado como universalmente cierto respecto de las Ciencias Deductivas o Demostrativas, hasta que se verifique aplicándolo a la más notable de todas esas ciencias, la de los Números; la teoría del Cálculo; la Aritmética y el Álgebra. Es más difícil creer de las doctrinas de esta ciencia que de cualquier otra, ya sea que no son verdades a priori, sino verdades experimentales, o que su certeza peculiar se debe a que no son verdades absolutas sino solo condicionales. Este, por tanto, es un caso que merece un examen aparte; y más aún, porque sobre este tema tenemos que enfrentarnos a un doble conjunto de doctrinas: la de los filósofos a priori por un lado; y por otro, una teoría completamente opuesta a la suya, que en algún momento fue muy generalmente aceptada, y que aún está lejos de haber sido completamente descartada entre los metafísicos.

§ 2. Esta teoría intenta resolver la dificultad aparentemente inherente al caso, representando las proposiciones de la ciencia de los números como meramente verbales, y sus procesos como simples transformaciones del lenguaje, sustituciones de una expresión por otra. La proposición, Dos y uno es igual a tres, según estos autores, no es una verdad, no es la afirmación de un hecho realmente existente, sino una definición de la palabra tres; una declaración de que la humanidad ha acordado usar el nombre tres como un signo exactamente equivalente a dos y uno; llamar por el primer nombre a todo aquello que se denomina con la otra frase más torpe. Según esta doctrina, el proceso más largo en álgebra no es más que una sucesión de cambios en la terminología, por los cuales se sustituyen expresiones equivalentes unas por otras; una serie de traducciones del mismo hecho, de un lenguaje a otro; aunque cómo, después de tal serie de traducciones, el hecho mismo resulta cambiado (como cuando demostramos un nuevo teorema geométrico mediante el álgebra), no lo han explicado; y es una dificultad que resulta fatal para su teoría.

Debe reconocerse que existen peculiaridades en los procesos de la aritmética y el álgebra que hacen que la teoría en cuestión sea muy plausible, y no es de extrañar que esas ciencias sean el bastión del nominalismo. La doctrina de que podemos descubrir hechos, detectar los procesos ocultos de la naturaleza, mediante una hábil manipulación del lenguaje, es tan contraria al sentido común, que una persona debe haber avanzado algo en filosofía para creerlo: los hombres recurren a una creencia tan paradójica para evitar, según piensan, alguna dificultad aún mayor, que la gente común no percibe. Lo que ha llevado a muchos a creer que el razonamiento es un mero proceso verbal, es que ninguna otra teoría parecía conciliable con la naturaleza de la Ciencia de los Números. Porque no llevamos ninguna idea con nosotros cuando usamos los símbolos de la aritmética o del álgebra. En una demostración geométrica tenemos un diagrama mental, si no uno en papel; AB, AC, están presentes en nuestra imaginación como líneas, que se cruzan con otras líneas, formando un ángulo entre sí, y cosas por el estilo; pero no así a y b. Estos pueden representar líneas u otras magnitudes, pero esas magnitudes nunca se piensan; nada se realiza en nuestra imaginación más que a y b. Las ideas que, en la ocasión particular, representan, son apartadas de la mente durante cada parte intermedia del proceso, entre el principio, cuando las premisas se traducen de cosas a signos, y el final, cuando la conclusión se traduce de signos a cosas. No habiendo entonces en la mente del razonador más que los símbolos, ¿qué puede parecer más inadmisible que sostener que el proceso de razonamiento tiene que ver con algo más? Parece que hemos llegado a uno de los Casos Prerrogativos de Bacon; un experimentum crucis sobre la naturaleza misma del razonamiento.

Sin embargo, al reflexionar, se verá que este caso aparentemente tan decisivo no es en realidad un caso en absoluto; que en cada paso de un cálculo aritmético o algebraico hay una verdadera inducción, una verdadera inferencia de hechos a partir de hechos; y que lo que disfraza la inducción es simplemente su naturaleza abarcadora y, por consiguiente, la extrema generalidad del lenguaje. Todos los números deben ser números de algo: no existen los números en abstracto. Diez debe significar diez cuerpos, o diez sonidos, o diez latidos del pulso. Pero aunque los números deban ser números de algo, pueden ser números de cualquier cosa. Por lo tanto, las proposiciones sobre números tienen la peculiaridad notable de que son proposiciones sobre todas las cosas en general; todos los objetos, todas las existencias de cualquier tipo, conocidas por nuestra experiencia. Todas las cosas poseen cantidad; consisten en partes que pueden ser numeradas; y en ese carácter poseen todas las propiedades que se llaman propiedades de los números. Que la mitad de cuatro es dos, debe ser cierto sea lo que sea que la palabra cuatro represente, ya sean cuatro horas, cuatro millas o cuatro libras de peso. Solo necesitamos concebir una cosa dividida en cuatro partes iguales (y todas las cosas pueden concebirse así divididas), para poder predicar de ella toda propiedad del número cuatro, es decir, toda proposición aritmética en la que el número cuatro figure en un lado de la ecuación. El álgebra extiende la generalización aún más: cada número representa ese número particular de todas las cosas sin distinción, pero cada símbolo algebraico hace más, representa todos los números sin distinción. Tan pronto como concebimos una cosa dividida en partes iguales, sin saber en cuántas partes, podemos llamarla a o x, y aplicarle, sin riesgo de error, toda fórmula algebraica existente en los libros. La proposición, 2 (a + b) = 2 a + 2 b, es una verdad tan amplia como la naturaleza misma. Dado que las verdades algebraicas son verdaderas para todas las cosas en general, y no, como las de la geometría, solo para líneas o solo para ángulos, no es de extrañar que los símbolos no susciten en nuestra mente ideas de cosas particulares. Cuando demostramos la proposición cuadragésima séptima de Euclides, no es necesario que las palabras nos evoquen la imagen de todos los triángulos rectángulos, sino solo de algún triángulo rectángulo; así, en álgebra, no necesitamos, bajo el símbolo a, imaginar todas las cosas en general, sino solo alguna cosa; ¿por qué no, entonces, la letra misma? Los simples caracteres escritos, a, b, x, y, z, sirven tan bien como representantes de las Cosas en general, como cualquier concepción más compleja y aparentemente más concreta. Que somos conscientes de ellos, sin embargo, en su carácter de cosas, y no de simples signos, es evidente por el hecho de que todo nuestro proceso de razonamiento se lleva a cabo predicando de ellos las propiedades de las cosas. ¿Por qué reglas procedemos al resolver una ecuación algebraica? Aplicando en cada paso a a, b y x, la proposición de que iguales sumados a iguales dan iguales; que iguales restados de iguales dejan iguales; y otras proposiciones basadas en estas dos. Estas no son propiedades del lenguaje, ni de los signos como tales, sino de magnitudes, lo que equivale a decir, de todas las cosas. Las inferencias, por lo tanto, que se extraen sucesivamente, son inferencias sobre cosas, no sobre símbolos; aunque, como cualquier Cosa en general sirve para el propósito, no hay necesidad de mantener la idea de la Cosa en absoluto distinta, y en consecuencia el proceso de pensamiento puede, en este caso, permitirse sin peligro hacer lo que todos los procesos de pensamiento, cuando se han realizado con frecuencia, harán si se les permite, es decir, volverse completamente mecánicos. De ahí que el lenguaje general del álgebra llegue a usarse familiarmente sin suscitar ideas, como todo otro lenguaje general tiende a hacerlo por mera costumbre, aunque en ningún otro caso que este puede hacerse con total seguridad. Pero cuando miramos atrás para ver de dónde proviene la fuerza probatoria del proceso, encontramos que en cada paso, a menos que supongamos que estamos pensando y hablando de las cosas, y no de simples símbolos, la evidencia falla.

Hay otra circunstancia que, aún más que la que acabamos de mencionar, da verosimilitud a la idea de que las proposiciones de la aritmética y el álgebra son meramente verbales. Es decir, que cuando se consideran como proposiciones sobre Cosas, todas tienen la apariencia de ser proposiciones idénticas. La afirmación, Dos y uno es igual a tres, considerada como una afirmación sobre objetos, por ejemplo: “Dos guijarros y un guijarro son igual a tres guijarros”, no afirma igualdad entre dos colecciones de guijarros, sino identidad absoluta. Afirma que si ponemos un guijarro junto a dos guijarros, esos mismos guijarros son tres. Los objetos, por lo tanto, siendo exactamente los mismos, y la mera afirmación de que “los objetos son ellos mismos” careciendo de significado, parece natural considerar la proposición, Dos y uno es igual a tres, como una simple identidad de significado entre los dos nombres.

Esto, sin embargo, aunque parece tan plausible, no resiste el análisis. La expresión “dos guijarros y un guijarro” y la expresión “tres guijarros” representan en efecto la misma agrupación de objetos, pero de ninguna manera representan el mismo hecho físico. Son nombres de los mismos objetos, pero de esos objetos en dos estados diferentes: aunque denotan las mismas cosas, su connotación es distinta. Tres guijarros en dos grupos separados, y tres guijarros en un solo grupo, no producen la misma impresión en nuestros sentidos; y la afirmación de que los mismos guijarros pueden, mediante un cambio de lugar y disposición, producir uno u otro conjunto de sensaciones, aunque es una proposición muy familiar, no es una proposición idéntica. Es una verdad que conocemos por experiencia temprana y constante: una verdad inductiva; y tales verdades son la base de la ciencia del Número. Las verdades fundamentales de esa ciencia descansan todas en la evidencia de los sentidos; se prueban mostrando a nuestros ojos y dedos que cualquier número dado de objetos—diez bolas, por ejemplo—puede, mediante separación y reorganización, exhibir a nuestros sentidos todos los diferentes conjuntos de números cuya suma es igual a diez. Todos los métodos mejorados de enseñanza de la aritmética a los niños parten del conocimiento de este hecho. Todos los que desean llevar la mente del niño consigo en el aprendizaje de la aritmética; todos los que desean enseñar números, y no simples cifras—ahora lo enseñan a través de la evidencia de los sentidos, de la manera que hemos descrito.

Podemos, si queremos, llamar a la proposición “Tres es dos y uno” una definición del número tres, y afirmar que la aritmética, como se ha afirmado de la geometría, es una ciencia fundada en definiciones. Pero son definiciones en el sentido geométrico, no en el lógico; afirman no solo el significado de un término, sino junto con él un hecho observado. La proposición, “Un círculo es una figura limitada por una línea que tiene todos sus puntos igualmente distantes de un punto en su interior”, se llama la definición de un círculo; pero la proposición de la que se derivan tantas consecuencias, y que es realmente un primer principio en geometría, es que existen figuras que responden a esta descripción. Y así podemos llamar “Tres es dos y uno” una definición de tres; pero los cálculos que dependen de esa proposición no se derivan de la definición misma, sino de un teorema aritmético que presupone, a saber, que existen colecciones de objetos que, mientras impresionan los sentidos así, [Símbolo: tres círculos, dos arriba y uno abajo], pueden separarse en dos partes, así, [Símbolo: dos círculos, un espacio y un tercer círculo]. Concedida esta proposición, llamamos a todos esos grupos Treses, tras lo cual la enunciación del hecho físico mencionado servirá también como definición de la palabra Tres.

La Ciencia del Número no es, por tanto, una excepción a la conclusión a la que llegamos anteriormente, de que los procesos incluso de las ciencias deductivas son completamente inductivos, y que sus primeros principios son generalizaciones a partir de la experiencia. Resta examinar si esta ciencia se parece a la geometría en la circunstancia adicional de que algunas de sus inducciones no son exactamente verdaderas; y que la certeza peculiar que se le atribuye, por la cual sus proposiciones se llaman Verdades Necesarias, es ficticia e hipotética, siendo verdadera solo en el sentido de que esas proposiciones se derivan legítimamente de la hipótesis de la verdad de premisas que son reconocidamente meras aproximaciones a la verdad.

§ 3. Las inducciones de la aritmética son de dos tipos: primero, aquellas que acabamos de exponer, como Uno y uno son dos, Dos y uno son tres, etcétera, que pueden llamarse definiciones de los diversos números, en el sentido impropio o geométrico de la palabra Definición; y en segundo lugar, los dos siguientes axiomas: Las sumas de iguales son iguales, Las diferencias de iguales son iguales. Estos dos son suficientes; pues las proposiciones correspondientes respecto a los desiguales pueden demostrarse a partir de estos mediante una reducción al absurdo.

Estos axiomas, así como las llamadas definiciones, son, como ya se ha dicho, resultados de la inducción; verdaderos respecto a todos los objetos sin excepción y, al parecer, exactamente verdaderos, sin la suposición hipotética de una verdad absoluta donde solo existe una aproximación a ella. Por lo tanto, se inferirá naturalmente que las conclusiones son exactamente verdaderas, y que la ciencia de los números constituye una excepción respecto a otras ciencias demostrativas en esto: que la certeza categórica que puede predicarse de sus demostraciones es independiente de toda hipótesis.

Sin embargo, al investigar con mayor precisión, se encontrará que, incluso en este caso, existe un elemento hipotético en el razonamiento. En todas las proposiciones referentes a los números, se implica una condición, sin la cual ninguna de ellas sería verdadera; y esa condición es una suposición que puede ser falsa. La condición es que 1=1; que todos los números sean números de unidades iguales o del mismo tipo. Si esto es dudoso, ninguna de las proposiciones de la aritmética será válida. ¿Cómo podemos saber que una libra y una libra hacen dos libras, si una de las libras puede ser troy y la otra avoirdupois? Puede que no hagan dos libras de ninguna clase o de ningún peso. ¿Cómo podemos saber que una potencia de cuarenta caballos es siempre igual a sí misma, a menos que supongamos que todos los caballos tienen igual fuerza? Es cierto que 1 siempre es igual en número a 1; y cuando el mero número de objetos, o de partes de un objeto, sin suponer que sean equivalentes en ningún otro aspecto, es lo único relevante, las conclusiones de la aritmética, en la medida en que se refieren solo a eso, son verdaderas sin mezcla de hipótesis. Existen casos así en la estadística; por ejemplo, una investigación sobre la cantidad de población de un país. Para esa investigación es indiferente si son adultos o niños, fuertes o débiles, altos o bajos; lo único que queremos averiguar es su número. Pero siempre que, a partir de la igualdad o desigualdad de número, se pretenda inferir igualdad o desigualdad en algún otro aspecto, la aritmética aplicada a tales investigaciones se convierte en una ciencia tan hipotética como la geometría. Todas las unidades deben suponerse iguales en ese otro aspecto; y esto nunca es exactamente cierto, pues una libra de peso real no es exactamente igual a otra, ni una milla medida es igual a otra; una balanza más precisa o instrumentos de medición más exactos siempre detectarían alguna diferencia.

Por lo tanto, lo que comúnmente se llama certeza matemática, que comprende la doble concepción de verdad incondicional y exactitud perfecta, no es atributo de todas las verdades matemáticas, sino solo de aquellas que se refieren al Número puro, en contraste con la Cantidad en el sentido más amplio; y solo mientras nos abstengamos de suponer que los números son un índice preciso de cantidades reales. La certeza que usualmente se atribuye a las conclusiones de la geometría, e incluso a las de la mecánica, no es otra cosa que certeza de inferencia. Podemos tener plena seguridad de resultados particulares bajo suposiciones particulares, pero no podemos tener la misma seguridad de que esas suposiciones sean exactamente verdaderas, ni de que incluyan todos los datos que puedan influir en el resultado en un caso dado.

§ 4. Parece, por lo tanto, que el método de todas las Ciencias Deductivas es hipotético. Proceden rastreando las consecuencias de ciertas suposiciones; dejando para una consideración aparte si las suposiciones son verdaderas o no, y si no son exactamente verdaderas, si constituyen una aproximación suficientemente cercana a la verdad. La razón es obvia. Dado que solo en cuestiones de número puro las suposiciones son exactamente verdaderas, y aun así solo mientras no se funden en ellas conclusiones que no sean puramente numéricas; en todos los demás casos de investigación deductiva, debe formar parte de la indagación determinar cuánto les falta a las suposiciones para ser exactamente verdaderas en el caso en cuestión. Esto generalmente es un asunto de observación, que debe repetirse en cada caso nuevo; o si debe resolverse por argumento en lugar de observación, puede requerir en cada caso diferente pruebas distintas, y presentar todos los grados de dificultad, desde el menor hasta el mayor. Pero la otra parte del proceso—es decir, determinar qué más puede concluirse si encontramos, y en la medida en que encontremos, que las suposiciones son verdaderas—puede realizarse de una vez por todas, y los resultados mantenerse listos para ser empleados cuando surjan las ocasiones. Así, hacemos de antemano todo lo que puede hacerse así, y dejamos el menor trabajo posible para cuando surjan los casos y exijan una decisión. Esta investigación sobre las inferencias que pueden extraerse de las suposiciones es lo que propiamente constituye la Ciencia Demostrativa.

Por supuesto, es igualmente factible llegar a nuevas conclusiones a partir de hechos supuestos como de hechos observados; a partir de inducciones ficticias, así como de reales. La deducción, como hemos visto, consiste en una serie de inferencias de esta forma: a es un signo de b, b de c, c de d, por lo tanto a es un signo de d, lo cual puede ser una verdad inaccesible a la observación directa. De igual manera, es admisible decir: supongamos que a fuera un signo de b, b de c y c de d, a sería un signo de d, conclusión esta última que no fue considerada por quienes establecieron las premisas. Un sistema de proposiciones tan complicado como la geometría podría deducirse de suposiciones que son falsas; como lo hicieron Ptolomeo, Descartes y otros, en sus intentos de explicar sintéticamente los fenómenos del sistema solar bajo la suposición de que los movimientos aparentes de los cuerpos celestes eran los movimientos reales, o se producían de algún modo más o menos diferente al verdadero. A veces se hace lo mismo deliberadamente, con el propósito de mostrar la falsedad de la suposición; lo que se llama una reducción al absurdo. En tales casos, el razonamiento es el siguiente: a es un signo de b, y b de c; ahora bien, si c fuera también un signo de d, a sería un signo de d; pero se sabe que d es un signo de la ausencia de a; en consecuencia, a sería un signo de su propia ausencia, lo cual es una contradicción; por lo tanto, c no es un signo de d.

§ 5. Incluso algunos autores han sostenido que toda racionación descansa, en última instancia, en una reducción al absurdo; ya que la manera de forzar la aceptación de ella, en caso de oscuridad, sería mostrar que si se niega la conclusión, se debe negar al menos una de las premisas, lo que, dado que todas se suponen verdaderas, sería una contradicción. Y en consonancia con esto, muchos han pensado que la naturaleza peculiar de la evidencia de la racionación consiste en la imposibilidad de admitir las premisas y rechazar la conclusión sin una contradicción en los términos. Sin embargo, esta teoría es inadmisible como explicación de los fundamentos en los que descansa la racionación misma. Si alguien niega la conclusión a pesar de admitir las premisas, no incurre en ninguna contradicción directa y expresa hasta que se le obliga a negar alguna premisa; y solo puede ser forzado a hacer esto mediante una reducción al absurdo, es decir, mediante otra racionación: ahora bien, si niega la validez del proceso de razonamiento mismo, no puede ser forzado a aceptar el segundo silogismo más que el primero. En realidad, por lo tanto, nadie es jamás forzado a una contradicción en los términos: solo puede ser forzado a una contradicción (o más bien a una infracción) del principio fundamental de la racionación, a saber, que todo lo que tiene un signo, tiene aquello de lo que es signo; o (en el caso de proposiciones universales), que todo lo que es signo de algo, es signo de todo aquello de lo que ese algo es signo. Pues en el caso de todo argumento correcto, tan pronto como se presenta en forma silogística, es evidente sin la ayuda de ningún otro silogismo, que quien, admitiendo las premisas, no extrae la conclusión, no se ajusta al axioma anterior.

Hemos avanzado ahora tanto como podemos en la teoría de la Deducción en la etapa actual de nuestra investigación. Cualquier comprensión adicional del tema requiere que se haya establecido la base de la teoría filosófica de la Inducción misma; en cuya teoría la de la Deducción, como un modo de Inducción, que ahora hemos demostrado que es, asumirá espontáneamente el lugar que le corresponde, y recibirá su parte de la luz que pueda arrojarse sobre la gran operación intelectual de la que forma una parte tan importante.