Capítulo XVIII.

Sobre el cálculo de probabilidades.

§ 1. “La probabilidad”, dice Laplace,(176) “se refiere en parte a nuestra ignorancia, en parte a nuestro conocimiento. Sabemos que entre tres o más sucesos, uno, y solo uno, debe ocurrir; pero no hay nada que nos lleve a creer que uno de ellos sucederá antes que los otros. En este estado de indecisión, nos es imposible pronunciarnos con certeza sobre su ocurrencia. Sin embargo, es probable que cualquiera de estos sucesos, elegido al azar, no ocurra; porque percibimos varios casos, todos igualmente posibles, que excluyen su ocurrencia, y solo uno que la favorece.

La teoría de las probabilidades consiste en reducir todos los sucesos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igualmente indecisos respecto a su existencia; y en determinar el número de estos casos que son favorables al suceso cuya probabilidad se busca. La proporción de ese número respecto al número total de casos posibles es la medida de la probabilidad; que así resulta ser una fracción, cuyo numerador es el número de casos favorables al suceso, y cuyo denominador es el número total de casos posibles.”

Para un cálculo de probabilidades, entonces, según Laplace, son necesarias dos cosas: debemos saber que de varios sucesos alguno ocurrirá con certeza, y no más de uno; y no debemos saber, ni tener razón para esperar, que será uno de estos sucesos antes que otro. Se ha argumentado que estos no son los únicos requisitos, y que Laplace ha pasado por alto, en la exposición teórica general, una parte necesaria de la base de la doctrina de las probabilidades. Para poder (se ha dicho) considerar dos sucesos igualmente probables, no basta con saber que uno u otro debe ocurrir, y no tener motivos para conjeturar cuál. La experiencia debe haber mostrado que ambos sucesos ocurren con igual frecuencia. ¿Por qué, al lanzar una moneda, consideramos igualmente probable que salga cara o cruz? Porque sabemos que en un gran número de lanzamientos, cara y cruz salen aproximadamente con la misma frecuencia; y que, cuanto más lanzamientos hagamos, más perfecta será la igualdad. Podemos saber esto, si lo deseamos, por experimento real, o por la experiencia diaria que la vida nos ofrece de sucesos del mismo carácter general, o, deductivamente, por el efecto de las leyes mecánicas sobre un cuerpo simétrico actuado por fuerzas que varían indefinidamente en cantidad y dirección. Podemos saberlo, en resumen, ya sea por experiencia específica, o por la evidencia de nuestro conocimiento general de la naturaleza. Pero, de una u otra manera, debemos saberlo, para justificarnos en llamar a los dos sucesos igualmente probables; y si no lo supiéramos, procederíamos tan al azar al apostar sumas iguales al resultado, como al establecer apuestas desiguales.

Esta visión del tema fue adoptada en la primera edición de la presente obra; pero desde entonces me he convencido de que la teoría de las probabilidades, tal como la conciben Laplace y los matemáticos en general, no tiene el error fundamental que yo le había atribuido.

Debemos recordar que la probabilidad de un suceso no es una cualidad del propio suceso, sino un mero nombre para el grado de fundamento que nosotros, o alguien más, tenemos para esperarlo. La probabilidad de un suceso para una persona es algo diferente de la probabilidad del mismo suceso para otra, o para la misma persona después de haber adquirido evidencia adicional. La probabilidad para mí de que un individuo del que no sé nada salvo su nombre muera dentro del año, cambia totalmente si al minuto siguiente me dicen que está en la última etapa de una tisis. Sin embargo, esto no cambia el suceso en sí, ni ninguna de las causas de las que depende. Todo suceso es en sí mismo cierto, no probable; si lo supiéramos todo, sabríamos positivamente si ocurrirá o no. Pero su probabilidad para nosotros significa el grado de expectativa de su ocurrencia que nuestra evidencia actual nos autoriza a tener.

Teniendo esto en cuenta, creo que debe admitirse que, incluso cuando no tenemos conocimiento alguno que guíe nuestras expectativas, salvo el saber que lo que ocurra debe ser uno de un cierto número de posibilidades, aún podemos juzgar razonablemente que una suposición es más probable para nosotros que otra; y si tenemos algún interés en juego, mejor lo protegeremos actuando conforme a ese juicio.

§ 2. Supongamos que se nos pide sacar una bola de una caja, de la cual solo sabemos que contiene bolas tanto negras como blancas, y ninguna de otro color. Sabemos que la bola que seleccionemos será negra o blanca; pero no tenemos motivo para esperar negra antes que blanca, ni blanca antes que negra. En ese caso, si estamos obligados a elegir y a apostar algo por una u otra suposición, será, como cuestión de prudencia, completamente indiferente cuál elijamos; y actuaremos exactamente como lo haríamos si supiéramos de antemano que la caja contiene igual número de bolas blancas y negras. Pero aunque nuestra conducta sería la misma, no se basaría en ninguna conjetura de que las bolas estén en realidad así divididas; pues podríamos, por el contrario, saber por información auténtica que la caja contiene noventa y nueve bolas de un color y solo una del otro; aun así, si no se nos dice cuál color tiene solo una y cuál noventa y nueve, la extracción de una bola blanca o negra será igualmente probable para nosotros. No tendremos razón para apostar nada por un suceso antes que por el otro; la opción entre ambos será cuestión de indiferencia; en otras palabras, será una probabilidad equitativa.

Pero supongamos ahora que en vez de dos hay tres colores—blanco, negro y rojo; y que ignoramos totalmente la proporción en que están mezclados. Entonces no tendríamos razón para esperar uno más que otro, y si nos viéramos obligados a apostar, arriesgaríamos nuestra apuesta por rojo, blanco o negro con igual indiferencia. Pero, ¿seríamos indiferentes a apostar a favor o en contra de algún color, por ejemplo, blanco? Seguramente no. Por el hecho mismo de que negro y rojo son cada uno por separado igualmente probables para nosotros que el blanco, los dos juntos deben ser el doble de probables. En este caso esperaríamos no blanco antes que blanco, y tanto más que apostaríamos dos a uno en contra de blanco. Es cierto que podría, por lo que sabemos, haber más bolas blancas que negras y rojas juntas; y si así fuera, nuestra apuesta, si supiéramos más, resultaría desventajosa. Pero también podría, por lo que sabemos, haber más bolas rojas que negras y blancas, o más bolas negras que blancas y rojas, y en tal caso el efecto de un conocimiento adicional sería demostrarnos que nuestra apuesta era más ventajosa de lo que suponíamos. Existe en el estado actual de nuestro conocimiento una probabilidad racional de dos a uno en contra de blanco; una probabilidad adecuada para servir de base a la conducta. Ninguna persona razonable apostaría en igualdad de condiciones a favor de blanco contra negro y rojo; aunque contra solo negro o solo rojo podría hacerlo sin imprudencia.

Por lo tanto, la teoría común del cálculo de probabilidades parece ser sostenible. Incluso cuando no sabemos nada excepto el número de contingencias posibles y mutuamente excluyentes, y desconocemos totalmente su frecuencia comparativa, podemos tener motivos, y motivos numéricamente apreciables, para actuar conforme a una suposición antes que a otra; y este es el significado de la Probabilidad.

§ 3. Sin embargo, el principio sobre el que se basa el razonamiento es suficientemente evidente. Es el obvio: cuando los casos existentes se reparten entre varias clases, es imposible que cada una de esas clases sea mayoría del total: por el contrario, debe haber una mayoría en contra de cada clase, salvo una como máximo; y si alguna clase tiene más que su parte proporcional respecto al número total, las otras en conjunto deben tener menos. Aceptando este axioma, y suponiendo que no tenemos motivo para elegir una clase como más probable que las demás para superar la proporción promedio, se sigue que no podemos suponer racionalmente esto de ninguna, lo que haríamos si apostáramos a su favor recibiendo menos probabilidades que la proporción del número de las otras clases. Incluso, por lo tanto, en este caso extremo del cálculo de probabilidades, que no se basa en experiencia especial alguna, el fundamento lógico del proceso es nuestro conocimiento—el conocimiento que entonces poseemos—de las leyes que rigen la frecuencia de ocurrencia de los diferentes casos; pero en este caso el conocimiento se limita a aquel que, siendo universal y axiomático, no requiere referencia a experiencia específica, ni a consideraciones derivadas de la naturaleza especial del problema en discusión.

Exceptuando, sin embargo, casos como los juegos de azar, donde el propósito mismo requiere ignorancia en lugar de conocimiento, no concibo ningún caso en el que debamos conformarnos con una estimación de probabilidades como esta—una estimación fundada en el mínimo absoluto de conocimiento respecto al tema. Es evidente que, en el caso de las bolas de colores, un motivo muy leve para sospechar que las bolas blancas eran realmente más numerosas que cualquiera de los otros colores bastaría para invalidar todos los cálculos realizados en nuestro anterior estado de indiferencia. Esto nos colocaría en una posición de conocimiento más avanzado, en la que las probabilidades, para nosotros, serían diferentes de lo que eran antes; y al estimar estas nuevas probabilidades tendríamos que proceder sobre un conjunto totalmente distinto de datos, proporcionados ya no por el simple conteo de suposiciones posibles, sino por un conocimiento específico de los hechos. Siempre deberíamos esforzarnos por obtener tales datos; y en toda investigación, salvo en asuntos igualmente fuera del alcance de nuestros medios de conocimiento y de nuestras necesidades prácticas, pueden obtenerse, si no buenos, al menos mejores que ninguno en absoluto.

Es evidente, además, que incluso cuando las probabilidades se derivan de la observación y el experimento, una mejora muy ligera en los datos, mediante mejores observaciones o considerando más plenamente las circunstancias especiales del caso, es de mayor utilidad que la aplicación más elaborada del cálculo a probabilidades fundadas en datos en su anterior estado de inferioridad. El descuido de esta reflexión obvia ha dado lugar a malas aplicaciones del cálculo de probabilidades que lo han convertido en el verdadero oprobio de las matemáticas. Basta con referirse a las aplicaciones que se han hecho de él a la credibilidad de los testigos y a la corrección de los veredictos de los jurados. En cuanto a lo primero, el sentido común dictaría que es imposible establecer un promedio general de la veracidad y otras cualidades necesarias para un testimonio verdadero de la humanidad, o de cualquier clase de ella; e incluso si fuera posible, su empleo para tal fin implica un malentendido del uso de los promedios, que sirven, en efecto, para proteger a quienes tienen intereses en juego contra el error en el resultado general de grandes masas de casos, pero tienen un valor extremadamente pequeño como base de expectativa en cualquier caso individual, a menos que se trate de aquellos en los que la gran mayoría de los casos individuales no difieren mucho del promedio. En el caso de un testigo, las personas sensatas sacarían sus conclusiones del grado de coherencia de sus declaraciones, su conducta bajo el contrainterrogatorio y la relación del caso mismo con sus intereses, sus parcialidades y su capacidad mental, en lugar de aplicar un estándar tan tosco (aun si pudiera ser verificado) como la proporción entre el número de declaraciones verdaderas y el número de erróneas que se supone puede hacer a lo largo de su vida.

De nuevo, sobre el tema de los jurados u otros tribunales, algunos matemáticos han partido de la proposición de que el juicio de cualquier juez o jurado es, al menos en algún pequeño grado, más probable que sea correcto que incorrecto, y han concluido que la probabilidad de que varias personas coincidan en un veredicto erróneo disminuye cuanto más se aumenta el número; de modo que si los jueces son lo suficientemente numerosos, la corrección del juicio puede reducirse casi a la certeza. No diré nada sobre el desprecio mostrado hacia el efecto producido en la posición moral de los jueces al multiplicar su número, la destrucción virtual de su responsabilidad individual y el debilitamiento de la aplicación de sus mentes al asunto. Solo señalo la falacia de razonar a partir de un promedio amplio en casos que necesariamente difieren mucho de cualquier promedio. Puede ser cierto que, considerando todas las causas en conjunto, la opinión de cualquiera de los jueces sea más frecuentemente correcta que incorrecta; pero el argumento olvida que, salvo en los casos más simples, en todos los casos en los que realmente importa qué tribunal es, la proposición probablemente podría invertirse; además, la causa del error, ya sea que surja de la complejidad del caso o de algún prejuicio común o deficiencia mental, si afecta a un juez, es muy probable que afecte a todos los demás de la misma manera, o al menos a la mayoría, y así haga más probable una decisión errónea en lugar de una correcta cuanto mayor sea el número.

Estos no son más que ejemplos de los errores que cometen con frecuencia quienes, habiéndose familiarizado con las difíciles fórmulas que el álgebra ofrece para la estimación de probabilidades bajo suposiciones de carácter complejo, prefieren emplear esas fórmulas para calcular cuáles son las probabilidades para una persona medio informada sobre un caso antes que buscar medios para estar mejor informados. Antes de aplicar la doctrina de las probabilidades a cualquier propósito científico, debe sentarse la base para una evaluación de las probabilidades, poseyendo la mayor cantidad posible de conocimiento positivo. El conocimiento requerido es el de la frecuencia comparativa con la que los diferentes eventos ocurren en realidad. Por lo tanto, para los fines de la presente obra, es admisible suponer que las conclusiones respecto a la probabilidad de un hecho de un tipo particular se basan en nuestro conocimiento de la proporción entre los casos en que ocurren hechos de ese tipo y aquellos en los que no ocurren; este conocimiento se deriva ya sea de experimentos específicos, o se deduce de nuestro conocimiento de las causas en operación que tienden a producir, comparadas con las que tienden a impedir, el hecho en cuestión.

Tal cálculo de probabilidades se basa en una inducción; y para que el cálculo sea legítimo, la inducción debe ser válida. No deja de ser una inducción, aunque no demuestre que el evento ocurre en todos los casos de una determinada descripción, sino solo que de un número dado de tales casos ocurre en aproximadamente tantos. La fracción que los matemáticos usan para designar la probabilidad de un evento es la relación entre estos dos números; la proporción comprobada entre el número de casos en que ocurre el evento y la suma de todos los casos, tanto en los que ocurre como en los que no ocurre, tomados en conjunto. Al jugar a cara o cruz, la descripción de los casos involucrados son los lanzamientos, y la probabilidad de cruz es un medio, porque si lanzamos suficientes veces, sale cruz aproximadamente una vez de cada dos. En el lanzamiento de un dado, la probabilidad de as es un sexto; no simplemente porque hay seis lanzamientos posibles, de los cuales as es uno, y porque no conocemos ninguna razón por la que deba salir uno antes que otro—aunque he admitido la validez de este fundamento a falta de uno mejor—sino porque en realidad sabemos, ya sea por razonamiento o por experiencia, que en cien o un millón de lanzamientos sale as en aproximadamente una sexta parte de ese número, o una vez de cada seis.

§ 4. Digo, “ya sea por razonamiento o por experiencia”, refiriéndome a experiencia específica. Pero al estimar probabilidades, no es indiferente de cuál de estas dos fuentes derivamos nuestra certeza. La probabilidad de los eventos, calculada a partir de su mera frecuencia en la experiencia pasada, ofrece una base menos segura para la orientación práctica que su probabilidad deducida de un conocimiento igualmente preciso de la frecuencia de ocurrencia de sus causas.

La generalización de que un evento ocurre en diez de cada cien casos de una determinada descripción es una inducción tan real como si la generalización fuera que ocurre en todos los casos. Pero cuando llegamos a la conclusión simplemente contando instancias en la experiencia real y comparando el número de casos en que A ha estado presente con el número en que ha estado ausente, la evidencia es solo la del Método de la Concordancia, y la conclusión equivale únicamente a una ley empírica. Podemos avanzar más allá cuando logramos remontarnos a las causas de las que dependerá la ocurrencia o no ocurrencia de A, y formamos una estimación de la frecuencia comparativa de las causas favorables y de las desfavorables a la ocurrencia. Estos son datos de un orden superior, por medio de los cuales la ley empírica derivada de una mera comparación numérica de instancias afirmativas y negativas será corregida o confirmada, y en cualquier caso obtendremos una medida más precisa de la probabilidad que la que proporciona esa comparación numérica. Se ha señalado acertadamente que, en el tipo de ejemplos con los que suele ilustrarse la doctrina de las probabilidades, como el de bolas en una caja, la estimación de probabilidades está respaldada por razones de causalidad, más sólidas que la experiencia específica. “¿Cuál es la razón por la que, en una caja donde hay nueve bolas negras y una blanca, esperamos sacar una bola negra nueve veces más (en otras palabras, nueve veces más a menudo, siendo la frecuencia la medida de la intensidad en la expectativa) que una blanca? Evidentemente porque las condiciones locales son nueve veces más favorables; porque la mano puede posarse en nueve lugares y tomar una bola negra, mientras que solo puede posarse en un lugar y encontrar una bola blanca; exactamente por la misma razón que no esperamos tener éxito al buscar a un amigo en una multitud, siendo muchas y difíciles las condiciones para que nos encontremos. Por supuesto, esto no se mantendría en la misma medida si las bolas blancas fueran de menor tamaño que las negras, ni la probabilidad seguiría siendo la misma; la bola más grande tendría mucha más probabilidad de encontrarse con la mano.”

De hecho, es evidente que, una vez admitida la causalidad como una ley universal, nuestra expectativa de los eventos solo puede fundamentarse racionalmente en esa ley. Para una persona que reconoce que todo evento depende de causas, que algo haya ocurrido una vez es motivo para esperar que ocurra de nuevo, solo porque demuestra que existe, o puede existir, una causa suficiente para producirlo. La frecuencia del evento particular, aparte de toda conjetura sobre su causa, no puede dar lugar a otra inducción que la per enumerationem simplicem; y las inferencias precarias derivadas de esto quedan superadas y desaparecen del campo tan pronto como el principio de causalidad hace su aparición allí.

Sin embargo, a pesar de la superioridad abstracta de una estimación de probabilidad basada en causas, es un hecho que en casi todos los casos en que las probabilidades admiten una estimación lo suficientemente precisa como para que su apreciación numérica tenga algún valor práctico, los datos numéricos no se extraen del conocimiento de las causas, sino de la experiencia de los propios eventos. Las probabilidades de vida a diferentes edades o en distintos climas; las probabilidades de recuperación de una enfermedad particular; las probabilidades del nacimiento de descendencia masculina o femenina; las probabilidades de destrucción de casas u otras propiedades por incendio; las probabilidades de la pérdida de un barco en un viaje determinado, se deducen de tablas de mortalidad, registros de hospitales, registros de nacimientos, de naufragios, etc., es decir, de la frecuencia observada no de las causas, sino de los efectos. La razón es que, en todas estas clases de hechos, las causas o bien no son susceptibles de observación directa en absoluto, o no con la precisión requerida, y no tenemos medios de juzgar su frecuencia excepto por la ley empírica proporcionada por la frecuencia de los efectos. La inferencia no depende menos exclusivamente de la causalidad. Razonamos de un efecto a otro similar pasando por la causa. Si el actuario de una compañía de seguros deduce de sus tablas que, entre cien personas vivas de una edad determinada, cinco en promedio alcanzarán los setenta años, su inferencia es legítima, no simplemente porque esa es la proporción de quienes han vivido hasta los setenta en el pasado, sino porque el hecho de que hayan vivido así demuestra que esa es la proporción existente, en ese lugar y tiempo, entre las causas que prolongan la vida hasta los setenta años y las que tienden a acortarla.

§ 5. A partir de los principios anteriores es fácil deducir la demostración de aquel teorema de la doctrina de las probabilidades que es la base de su aplicación a las investigaciones para determinar la ocurrencia de un evento dado, o la realidad de un hecho individual. Los signos o evidencias por los que normalmente se prueba un hecho son algunas de sus consecuencias; y la investigación gira en torno a determinar qué causa es más probable que haya producido un efecto dado. El teorema aplicable a tales investigaciones es el Sexto Principio del “Ensayo Filosófico sobre las Probabilidades” de Laplace, que él describe como el “principio fundamental de esa rama del Análisis de las Probabilidades que consiste en ascender de los eventos a sus causas.”

Dado un efecto que debe ser explicado, y existiendo varias causas que podrían haberlo producido, pero de cuya presencia en el caso particular no se sabe nada; la probabilidad de que el efecto haya sido producido por cualquiera de estas causas es proporcional a la probabilidad antecedente de la causa, multiplicada por la probabilidad de que la causa, si existiera, hubiera producido el efecto dado.

Sea M el efecto, y A, B, dos causas, cualquiera de las cuales podría haberlo producido. Para hallar la probabilidad de que haya sido producido por una y no por la otra, determine cuál de las dos es más probable que haya existido, y cuál de ellas, si existió, era más probable que produjera el efecto M: la probabilidad buscada es una combinación de estas dos probabilidades.

CASO I. Supongamos que las causas son iguales en el segundo aspecto: tanto A como B, cuando existen, se supone que tienen la misma probabilidad (o certeza) de producir M; pero A es en sí misma dos veces más probable que B de existir, es decir, es un fenómeno dos veces más frecuente. Entonces, es dos veces más probable que haya existido en este caso y que haya sido la causa que produjo M.

Pues, dado que A existe en la naturaleza dos veces más a menudo que B, en cualquier 300 casos en que una u otra existió, A ha existido 200 veces y B 100. Pero tanto A como B deben haber existido siempre que se produce M; por lo tanto, en 300 ocasiones en que se produce M, A fue la causa productora 200 veces, B solo 100, es decir, en una proporción de 2 a 1. Así, si las causas son iguales en su capacidad de producir el efecto, la probabilidad de cuál realmente lo produjo está en la proporción de sus probabilidades antecedentes.

CASO II. Invirtiendo la última hipótesis, supongamos que las causas son igualmente frecuentes, igualmente probables de haber existido, pero no igualmente probables, si existieron, de producir M; que en tres ocasiones en que ocurre A, produce ese efecto dos veces, mientras que B, en tres ocasiones, lo produce solo una vez. Dado que ambas causas son igualmente frecuentes en su aparición; en cada seis ocasiones en que existe una u otra, A existe tres veces y B tres veces. A, de sus tres veces, produce M en dos; B, de sus tres veces, produce M en una. Así, en las seis ocasiones, M solo se produce tres veces; pero de esas tres, es producido dos veces por A, una sola vez por B. Por consiguiente, cuando las probabilidades antecedentes de las causas son iguales, las probabilidades de que el efecto haya sido producido por ellas están en la proporción de las probabilidades de que, si existieron, producirían el efecto.

CASO III. El tercer caso, en el que las causas son diferentes en ambos aspectos, se resuelve con lo ya expuesto. Pues, cuando una cantidad depende de otras dos, de tal manera que, mientras cualquiera de ellas permanezca constante, es proporcional a la otra, necesariamente debe ser proporcional al producto de ambas, siendo el producto la única función de las dos que obedece esa ley de variación. Por lo tanto, la probabilidad de que M haya sido producido por cualquiera de las causas es proporcional a la probabilidad antecedente de la causa, multiplicada por la probabilidad de que, si existiera, produciría M. Lo que se quería demostrar.

O podemos demostrar el tercer caso del mismo modo en que probamos el primero y el segundo. Supongamos que A es dos veces más frecuente que B, y que además tienen probabilidades desiguales, cuando existen, de producir M; que A lo produzca dos veces de cada cuatro, y B tres veces de cada cuatro. La probabilidad antecedente de A es a la de B como 2 a 1; las probabilidades de que produzcan M son como 2 a 3; el producto de estas razones es la razón de 4 a 3; y esta será la razón de las probabilidades de que A o B haya sido la causa productora en el caso dado. Pues, dado que A es dos veces más frecuente que B, de doce casos en los que uno u otro existe, A existe en 8 y B en 4. Pero de esos ocho casos, A, según la suposición, produce M solo en 4, mientras que B de sus cuatro casos produce M en 3. Por lo tanto, M solo se produce en siete de los doce casos; pero en cuatro de estos lo produce A, y en tres B; de ahí que las probabilidades de que sea producido por A y por B son como 4 a 3, y se expresan por las fracciones ⁴⁄₇ y ³⁄₇. Lo que se quería demostrar.

§ 6. Resta examinar la influencia de la doctrina de las probabilidades sobre el problema particular que nos ocupó en el capítulo anterior, es decir, cómo distinguir las coincidencias que son casuales de aquellas que son resultado de una ley; de aquellas en las que los hechos que se acompañan o suceden están de algún modo conectados por causalidad.

La doctrina de las probabilidades ofrece medios por los cuales, si conociéramos el número promedio de coincidencias que cabe esperar entre dos fenómenos conectados solo casualmente, podríamos determinar con qué frecuencia cualquier desviación dada de ese promedio ocurrirá por azar. Si la probabilidad de cualquier coincidencia casual, considerada en sí misma, es 1/m, la probabilidad de que la misma coincidencia se repita n veces sucesivas es 1/mⁿ. Por ejemplo, en una tirada de dado la probabilidad de sacar un as es ⅙; la probabilidad de sacar as dos veces seguidas será 1 dividido entre el cuadrado de 6, o ¹⁄₃₆. Pues el as sale en la primera tirada una vez en seis, o seis en treinta y seis veces, y de esas seis, al lanzar el dado de nuevo, el as saldrá solo una vez; es decir, en total una vez en treinta y seis. La probabilidad de que salga el mismo resultado tres veces seguidas es, por un razonamiento similar, ¹⁄₆³ o ¹⁄₂₁₆; es decir, el evento ocurrirá, en un promedio amplio, solo una vez en doscientas dieciséis tiradas.

Así tenemos una regla para estimar la probabilidad de que cualquier serie dada de coincidencias surja por azar, siempre que podamos medir correctamente la probabilidad de una sola coincidencia. Si podemos obtener una expresión igualmente precisa para la probabilidad de que la misma serie de coincidencias surja por causalidad, solo tendríamos que comparar los números. Sin embargo, esto rara vez puede hacerse. Veamos qué grado de aproximación puede lograrse prácticamente a la precisión necesaria.

La cuestión entra dentro del sexto principio de Laplace, recién demostrado. El hecho dado, es decir, la serie de coincidencias, puede haber tenido origen tanto en una conjunción casual de causas como en una ley de la naturaleza. Las probabilidades, por lo tanto, de que el hecho se haya originado en estos dos modos, son proporcionales a sus probabilidades antecedentes, multiplicadas por las probabilidades de que, si existieran, producirían el efecto. Pero la combinación particular de casualidades, si ocurriera, o la ley de la naturaleza si fuera real, ciertamente produciría la serie de coincidencias. Las probabilidades, por lo tanto, de que las coincidencias sean producidas por las dos causas en cuestión son proporcionales a las probabilidades antecedentes de las causas. Una de ellas, la probabilidad antecedente de la combinación de meras casualidades que produciría el resultado dado, es una cantidad apreciable. La probabilidad antecedente de la otra suposición puede ser susceptible de una estimación más o menos exacta, según la naturaleza del caso.

En algunos casos, la coincidencia, suponiendo que sea resultado de la causalidad, debe ser el resultado de una causa conocida; como la sucesión de ases, que si no es accidental, debe deberse a que el dado está cargado. En tales casos, podemos ser capaces de formar una conjetura sobre la probabilidad antecedente de tal circunstancia a partir del carácter de las partes involucradas, u otras evidencias similares; pero sería imposible estimar esa probabilidad con algo parecido a la precisión numérica. Sin embargo, la contraprobabilidad, es decir, la del origen accidental de la coincidencia, disminuye tan rápidamente en cada nuevo intento, que pronto se alcanza el punto en que la probabilidad de que el dado esté trucado, por pequeña que sea, debe ser mayor que la de una coincidencia casual; y por esta razón, generalmente se puede tomar una decisión práctica sin mucha vacilación, si se tiene la posibilidad de repetir el experimento.

Cuando, sin embargo, la coincidencia es una que no puede explicarse por ninguna causa conocida, y la conexión entre los dos fenómenos, si es producida por causalidad, debe ser el resultado de alguna ley de la naturaleza hasta ahora desconocida; que es el caso que teníamos en mente en el capítulo anterior; entonces, aunque la probabilidad de una coincidencia casual puede ser apreciable, la de la contraposición, la existencia de una ley de la naturaleza no descubierta, es claramente insusceptible incluso de una valoración aproximada. Para contar con los datos que tal caso requeriría, sería necesario saber qué proporción de todas las secuencias o coexistencias individuales que ocurren en la naturaleza son resultado de una ley, y qué proporción son meras coincidencias casuales. Siendo evidente que no podemos formar una conjetura plausible sobre esta proporción, y mucho menos apreciarla numéricamente, no podemos intentar ninguna estimación precisa de las probabilidades comparativas. Pero de esto estamos seguros: que la detección de una ley desconocida de la naturaleza—de alguna constancia de conjunción entre fenómenos previamente no reconocida—no es un hecho poco común. Si, por lo tanto, el número de casos en que se observa una coincidencia, más allá de lo que surgiría en promedio por la mera concurrencia de casualidades, es tal que una cantidad tan grande de coincidencias por accidente sería un hecho extremadamente raro, tenemos razón para concluir que la coincidencia es efecto de la causalidad, y puede ser aceptada (sujeta a corrección por experiencia posterior) como una ley empírica. Más allá de esto, en cuanto a precisión, no podemos ir; ni, en la mayoría de los casos, se requiere mayor precisión para la solución de cualquier duda práctica.