Capítulo XXIV.

De las leyes restantes de la naturaleza.

§ 1. En el Primer Libro vimos que todas las afirmaciones que pueden ser transmitidas por medio del lenguaje expresan una o más de cinco cosas diferentes: Existencia; Orden en el espacio; Orden en el tiempo; Causalidad; y Semejanza.(197) De éstas, la Causalidad, según nuestra perspectiva del tema, no difiere fundamentalmente del Orden en el tiempo, por lo que las cinco especies de afirmaciones posibles se reducen a cuatro. Las proposiciones que afirman el Orden en el tiempo en cualquiera de sus dos modos, Coexistencia y Sucesión, han constituido, hasta ahora, el tema del presente Libro. Y hemos concluido ya la exposición, en la medida en que cae dentro de los límites asignados a esta obra, de la naturaleza de la evidencia en la que descansan estas proposiciones y de los procesos de investigación mediante los cuales son determinadas y probadas. Quedan tres clases de hechos: Existencia, Orden en el espacio y Semejanza; respecto de los cuales ahora deben resolverse las mismas cuestiones.

Sobre la primera de ellas, hay muy poco que decir. La existencia en general no es un tema para nuestra ciencia, sino para la metafísica. Determinar qué cosas pueden ser reconocidas como realmente existentes, independientemente de nuestras propias impresiones sensibles u otras, y en qué sentido se predica en ese caso el término de ellas, pertenece a la consideración de las “Cosas en sí mismas”, de las cuales, a lo largo de esta obra, nos hemos mantenido alejados en la medida de lo posible. La existencia, en lo que respecta a la lógica, sólo se refiere a los fenómenos; a estados actuales o posibles de conciencia externa o interna, en nosotros mismos o en otros. Los sentimientos de los seres sensibles, o las posibilidades de tener tales sentimientos, son las únicas cosas cuya existencia puede ser objeto de inducción lógica, porque son las únicas cosas cuya existencia en casos individuales puede ser objeto de experiencia.

Es cierto que decimos que una cosa existe, incluso cuando está ausente y, por lo tanto, no es ni puede ser percibida. Pero aun así, su existencia para nosotros no es más que otra forma de expresar nuestra convicción de que la percibiríamos bajo cierta suposición; es decir, si estuviéramos en las circunstancias necesarias de tiempo y lugar, y dotados de la perfección necesaria de los órganos. Mi creencia de que el Emperador de China existe es simplemente mi creencia de que, si fuera transportado al palacio imperial o a algún otro lugar de Pekín, lo vería. Mi creencia de que Julio César existió es mi creencia de que lo habría visto si hubiera estado presente en el campo de Farsalia o en la curia del senado en Roma. Cuando creo que existen estrellas más allá del alcance máximo de mi visión, aunque esté asistido por los telescopios más poderosos inventados hasta ahora, mi creencia, expresada filosóficamente, es que con telescopios aún mejores, si existieran, podría verlas, o que pueden ser percibidas por seres menos alejados de ellas en el espacio, o cuyas capacidades de percepción sean superiores a las mías.

La existencia, por lo tanto, de un fenómeno, no es más que otra forma de decir que es percibido, o de la posibilidad inferida de percibirlo. Cuando el fenómeno está dentro del alcance de la observación presente, mediante la observación presente nos aseguramos de su existencia; cuando está fuera de ese alcance, y por lo tanto se dice que está ausente, inferimos su existencia a partir de señales o evidencias. Pero, ¿cuáles pueden ser esas evidencias? Otros fenómenos; determinados por inducción a estar conectados con el fenómeno dado, ya sea en forma de sucesión o de coexistencia. Por lo tanto, la simple existencia de un fenómeno individual, cuando no es percibido directamente, se infiere de alguna ley inductiva de sucesión o coexistencia; y, en consecuencia, no está sujeta a ningún principio inductivo peculiar. Probamos la existencia de una cosa, probando que está conectada por sucesión o coexistencia con alguna cosa conocida.

En cuanto a las proposiciones generales de esta clase, es decir, las que afirman el mero hecho de la existencia, tienen una peculiaridad que hace que su tratamiento lógico sea muy sencillo; son generalizaciones que quedan suficientemente probadas por un solo caso. Que existen fantasmas, unicornios o serpientes marinas quedaría plenamente demostrado si pudiera establecerse positivamente que tales cosas han sido vistas siquiera una vez. Todo lo que ha sucedido una vez, es capaz de suceder de nuevo; la única cuestión se refiere a las condiciones bajo las cuales sucede.

Por lo tanto, en lo que respecta a la simple existencia, la lógica inductiva no tiene nudos que desatar. Y podemos proceder a las dos restantes de las grandes clases en que se han dividido los hechos: Semejanza y Orden en el espacio.

§ 2. La semejanza y su opuesto, salvo en el caso en que asumen los nombres de Igualdad y Desigualdad, rara vez se consideran temas de la ciencia; se supone que se perciben por simple aprehensión; con sólo aplicar nuestros sentidos o dirigir nuestra atención a los dos objetos al mismo tiempo, o en sucesión inmediata. Y esta aplicación simultánea, o virtualmente simultánea, de nuestras facultades a las dos cosas que han de compararse, constituye necesariamente el recurso último, siempre que tal aplicación sea practicable. Pero, en la mayoría de los casos, no lo es: los objetos no pueden acercarse tanto como para que el sentimiento de su semejanza (al menos un sentimiento completo de ella) surja directamente en la mente. Sólo podemos comparar cada uno de ellos con algún tercer objeto, capaz de ser transportado de uno a otro. Además, incluso cuando los objetos pueden ser puestos en yuxtaposición inmediata, su semejanza o diferencia sólo la conocemos de manera imperfecta, a menos que los hayamos comparado minuciosamente, parte por parte. Hasta que esto se haya hecho, cosas en realidad muy diferentes suelen parecer indistinguiblemente iguales. Dos líneas de longitud muy desigual parecerán aproximadamente iguales cuando estén dispuestas en diferentes direcciones; pero si se colocan en paralelo con sus extremos más alejados alineados, y miramos los extremos más cercanos, su desigualdad se convierte en una cuestión de percepción directa.

Por lo tanto, determinar si, y en qué, dos fenómenos se asemejan o difieren, no es siempre tan fácil como podría parecer al principio. Cuando no se pueden poner en yuxtaposición, o no de tal manera que el observador pueda comparar sus diversas partes en detalle, debe emplear medios indirectos de razonamiento y proposiciones generales. Cuando no podemos juntar dos líneas rectas para determinar si son iguales, lo hacemos con la ayuda física de una regla aplicada primero a una y luego a la otra, y la ayuda lógica de la proposición o fórmula general: “Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.” La comparación de dos cosas mediante la intervención de una tercera, cuando su comparación directa es imposible, es el proceso científico apropiado para determinar semejanzas y diferencias, y constituye la totalidad de lo que la lógica tiene que enseñar sobre el tema.

Una extensión indebida de esta observación llevó a Locke a considerar el razonamiento mismo como nada más que la comparación de dos ideas por medio de una tercera, y el conocimiento como la percepción del acuerdo o desacuerdo de dos ideas; doctrinas que la escuela de Condillac adoptó ciegamente, sin las salvedades y distinciones con las que su ilustre autor las había cuidadosamente resguardado. En efecto, cuando el acuerdo o desacuerdo (también llamado semejanza o desemejanza) de dos cosas es precisamente lo que se debe determinar, como ocurre particularmente en las ciencias de la cantidad y la extensión, el proceso mediante el cual se busca una solución, si no es posible obtenerla por percepción directa, consiste en comparar esas dos cosas a través de una tercera. Pero esto dista mucho de ser cierto en todas las investigaciones. El conocimiento de que los cuerpos caen al suelo no es una percepción de acuerdo o desacuerdo, sino de una serie de sucesos físicos, una sucesión de sensaciones. Las definiciones de Locke sobre el conocimiento y el razonamiento debían limitarse a nuestro conocimiento y razonamiento acerca de semejanzas. Ni siquiera restringiéndolas así, las proposiciones son estrictamente correctas, ya que la comparación no se realiza, como él lo plantea, entre las ideas de los dos fenómenos, sino entre los fenómenos mismos. Este error ha sido señalado en una parte anterior de nuestra investigación, y lo atribuimos a una concepción imperfecta de lo que ocurre en matemáticas, donde muy a menudo la comparación se realiza realmente entre las ideas, sin recurrir a los sentidos externos; pero esto es así únicamente porque en matemáticas una comparación de las ideas es estrictamente equivalente a una comparación de los propios fenómenos. Cuando, como en el caso de los números, líneas y figuras, nuestra idea de un objeto es una imagen completa del objeto, en lo que respecta al asunto en cuestión, podemos, por supuesto, aprender de la imagen todo lo que podríamos aprender del objeto mismo mediante su mera contemplación en el instante particular en que se toma la imagen. Ninguna mera contemplación de la pólvora nos enseñaría jamás que una chispa la haría explotar, ni, en consecuencia, la contemplación de la idea de la pólvora lo haría; pero la mera contemplación de una línea recta muestra que no puede encerrar un espacio; por lo tanto, la contemplación de la idea de ella mostrará lo mismo. Lo que ocurre en matemáticas, por tanto, no es argumento de que la comparación sea solo entre las ideas. Siempre es, ya sea directa o indirectamente, una comparación de los fenómenos.

En los casos en que no podemos someter los fenómenos a la prueba de la inspección directa en absoluto, o no de manera suficientemente precisa, sino que debemos juzgar su semejanza por inferencia a partir de otras semejanzas o desemejanzas más accesibles a la observación, por supuesto requerimos, como en todos los casos de razonamiento, generalizaciones o fórmulas aplicables al tema. Debemos razonar a partir de leyes de la naturaleza; a partir de las uniformidades que se observan en el hecho de la semejanza o desemejanza.

§ 3. De estas leyes o uniformidades, las más abarcadoras son las que proporciona la matemática; los axiomas relativos a la igualdad, la desigualdad y la proporcionalidad, y los diversos teoremas que se fundamentan en ellos. Y estas son las únicas Leyes de Semejanza que requieren, o pueden, ser tratadas por separado. Es cierto que existen innumerables otros teoremas que afirman semejanzas entre fenómenos; como que el ángulo de reflexión de la luz es igual a su ángulo de incidencia (la igualdad no es más que una semejanza exacta en magnitud). También, que los cuerpos celestes describen áreas iguales en tiempos iguales; y que sus períodos de revolución son proporcionales (otra especie de semejanza) a las potencias sesquiplicadas de sus distancias al centro de fuerza. Estas y proposiciones similares afirman semejanzas, de la misma naturaleza que las que se sostienen en los teoremas matemáticos; pero la diferencia es que las proposiciones matemáticas son verdaderas para todos los fenómenos, o al menos sin distinción de origen; mientras que las verdades en cuestión solo se afirman de fenómenos especiales, que se originan de cierta manera; y las igualdades, proporcionalidades u otras semejanzas que existen entre tales fenómenos, necesariamente deben derivarse de, o ser idénticas a, la ley de su origen—la ley de causalidad de la que dependen. La igualdad de las áreas descritas en tiempos iguales por los planetas se deriva de las leyes de las causas; y, hasta que se mostró su derivación, era una ley empírica. La igualdad de los ángulos de reflexión e incidencia es idéntica a la ley de la causa; pues la causa es la incidencia de un rayo de luz sobre una superficie reflectante, y la igualdad en cuestión es la propia ley según la cual esa causa produce sus efectos. Esta clase, por tanto, de uniformidades de semejanza entre fenómenos, es inseparable, en los hechos y en el pensamiento, de las leyes de la producción de esos fenómenos; y los principios de inducción aplicables a ellos no son otros que los que hemos tratado en los capítulos precedentes de este libro.

Es diferente con las verdades matemáticas. Las leyes de igualdad y desigualdad entre espacios, o entre números, no tienen relación con leyes de causalidad. Que el ángulo de reflexión sea igual al ángulo de incidencia es una afirmación sobre el modo de acción de una causa particular; pero que cuando dos líneas rectas se cruzan los ángulos opuestos son iguales, es cierto para todas esas líneas y ángulos, sea cual sea la causa que los produzca. Que los cuadrados de los tiempos periódicos de los planetas sean proporcionales a los cubos de sus distancias al sol es una uniformidad derivada de las leyes de las causas (o fuerzas) que producen los movimientos planetarios; pero que el cuadrado de cualquier número es cuatro veces el cuadrado de la mitad de ese número es cierto independientemente de cualquier causa. Las únicas leyes de semejanza, por tanto, que debemos considerar independientemente de la causalidad, pertenecen al ámbito de las matemáticas.

§ 4. Lo mismo es evidente respecto a la única categoría restante de nuestras cinco, el Orden en el Espacio. El orden en el espacio de los efectos de una causa es (como todo lo demás relacionado con los efectos) consecuencia de las leyes de esa causa. El orden en el espacio, o, como lo hemos llamado, la colocación, de las causas primordiales es (así como su semejanza) en cada caso un hecho último, en el que no se pueden rastrear leyes o uniformidades. Las únicas proposiciones generales restantes sobre el orden en el espacio, y las únicas que no tienen nada que ver con la causalidad, son algunas de las verdades de la geometría; leyes mediante las cuales podemos, a partir del orden en el espacio de ciertos puntos, líneas o espacios, inferir el orden en el espacio de otros que están conectados con los primeros de algún modo conocido; completamente independientemente de la naturaleza particular de esos puntos, líneas o espacios, en cualquier otro aspecto que no sea la posición o magnitud, así como independientemente de la causa física de la que, en un caso particular, puedan derivar su origen.

Así pues, parece que las matemáticas son el único campo de la ciencia cuyos métodos aún resta examinar. Y hay menos necesidad de que esta investigación nos ocupe mucho tiempo, ya que en el Segundo Libro hemos avanzado considerablemente en ello. Allí señalamos que las verdades directamente inductivas de las matemáticas son pocas; consisten en los axiomas, junto con ciertas proposiciones sobre la existencia, tácitamente implicadas en la mayoría de las llamadas definiciones. Y dimos razones que parecían concluyentes para afirmar que estos postulados originales, de los cuales se deducen las demás verdades de la ciencia, son, a pesar de todas las apariencias en contrario, resultados de la observación y la experiencia; en resumen, se fundamentan en la evidencia de los sentidos. Que las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí, y que dos líneas rectas que se han cruzado una vez continúan divergiendo, son verdades inductivas; basadas, en efecto, como la ley de la causalidad universal, solo en la inducción por enumeración simple; en el hecho de que siempre se las ha percibido como verdaderas y nunca se las ha encontrado falsas. Pero, como vimos en un capítulo reciente, que esta evidencia, en el caso de una ley tan completamente universal como la ley de la causalidad, equivale a la prueba más completa, esto es aún más evidentemente cierto respecto a las proposiciones generales a las que ahora aludimos; porque, como la percepción de su verdad en cualquier caso individual solo requiere el simple acto de mirar los objetos en la posición adecuada, nunca pudo haber en su caso (lo que, durante mucho tiempo, sí hubo en el caso de la ley de la causalidad) ejemplos que fueran aparentemente, aunque no realmente, excepciones a ellas. Su infalible verdad fue reconocida desde los albores mismos de la especulación; y como su extrema familiaridad hacía imposible que la mente concibiera los objetos bajo cualquier otra ley, fueron, y aún son, generalmente consideradas como verdades reconocidas por su propia evidencia, o por instinto.

§ 5. Hay algo que parece requerir explicación, en el hecho de que la inmensa multitud de verdades (una multitud aún tan lejos de agotarse como siempre) comprendidas en las ciencias matemáticas, pueda ser extraída de tan pequeño número de leyes elementales. Al principio, no se ve cómo puede haber espacio para tal variedad infinita de proposiciones verdaderas, sobre temas aparentemente tan limitados.

Comencemos con la ciencia de los números. Las verdades elementales o últimas de esta ciencia son los axiomas comunes sobre la igualdad, a saber: “Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí” y “Iguales sumados a iguales producen sumas iguales” (no se requieren otros axiomas),(199) junto con las definiciones de los diversos números. Como otras llamadas definiciones, estas se componen de dos cosas: la explicación de un nombre y la afirmación de un hecho; de los cuales solo lo último puede formar un primer principio o premisa de una ciencia. El hecho afirmado en la definición de un número es un hecho físico. Cada uno de los números dos, tres, cuatro, etc., denota fenómenos físicos y connota una propiedad física de esos fenómenos. Dos, por ejemplo, denota todos los pares de cosas, y doce todas las docenas de cosas, connotando lo que las hace pares o docenas; y aquello que las hace así es algo físico; ya que no se puede negar que dos manzanas son físicamente distinguibles de tres manzanas, dos caballos de un caballo, y así sucesivamente; que son un fenómeno visible y tangible diferente. No pretendo decir cuál es la diferencia; basta con que hay una diferencia que los sentidos pueden percibir. Y aunque ciento dos caballos no se distinguen tan fácilmente de ciento tres, como dos caballos de tres—aunque en la mayoría de las posiciones los sentidos no perciben ninguna diferencia—aun así pueden colocarse de modo que la diferencia sea perceptible, o de lo contrario nunca los habríamos distinguido ni les habríamos dado nombres diferentes. El peso es reconocidamente una propiedad física de las cosas; sin embargo, pequeñas diferencias entre grandes pesos son tan imperceptibles para los sentidos en la mayoría de las situaciones, como pequeñas diferencias entre grandes números; y solo se evidencian colocando los dos objetos en una posición peculiar—es decir, en los platillos opuestos de una balanza delicada.

¿Qué es, entonces, lo que se connota por un nombre de número? Por supuesto, alguna propiedad perteneciente a la aglomeración de cosas a la que damos ese nombre; y esa propiedad es la manera característica en que la aglomeración se compone de partes, y puede separarse en partes. Intentaré hacer esto más comprensible con algunas explicaciones.

Cuando llamamos dos, tres o cuatro a una colección de objetos, no son dos, tres o cuatro en abstracto; son dos, tres o cuatro cosas de alguna clase particular: guijarros, caballos, pulgadas, libras de peso. Lo que el nombre de número connota es la manera en que los objetos individuales de la clase dada deben reunirse para producir ese agregado particular. Si el agregado es de guijarros y lo llamamos dos, el nombre implica que, para componer el agregado, un guijarro debe unirse a otro guijarro. Si lo llamamos tres, uno y uno y uno deben reunirse, o bien un guijarro debe unirse a un agregado del tipo llamado dos, ya existente. El agregado que llamamos cuatro tiene aún más modos característicos de formación. Uno y uno y uno y uno pueden reunirse; o dos agregados del tipo llamado dos pueden unirse; o un guijarro puede añadirse a un agregado del tipo llamado tres. Cada número sucesivo en la serie ascendente puede formarse mediante la unión de números menores de una variedad progresivamente mayor de formas. Incluso limitando las partes a dos, el número puede formarse, y por consiguiente dividirse, en tantas formas diferentes como números menores que él existan; y, si admitimos tercias, cuartas, etc., en una variedad aún mayor. Otros modos de llegar al mismo agregado se presentan, no por la unión de menores, sino por el desmembramiento de agregados mayores. Así, tres guijarros pueden formarse quitando uno de un agregado de cuatro; dos guijarros, dividiendo en partes iguales un agregado similar; y así sucesivamente.

Toda proposición aritmética; toda afirmación del resultado de una operación aritmética; es una afirmación de uno de los modos de formación de un número dado. Afirma que un cierto agregado podría haberse formado reuniendo ciertos otros agregados, o retirando ciertas porciones de algún agregado; y que, en consecuencia, podríamos reproducir esos agregados a partir de él, invirtiendo el proceso.

Así, cuando decimos que el cubo de 12 es 1728, lo que afirmamos es esto: que si, teniendo un número suficiente de guijarros o de cualquier otro objeto, los reunimos en el tipo particular de grupos o agregados llamados docenas; y reunimos nuevamente esas docenas en colecciones similares; y, finalmente, formamos doce de estos grupos mayores; el agregado así formado será tal como el que llamamos 1728; es decir, aquel que (tomando el más familiar de sus modos de formación) puede hacerse uniendo el grupo llamado mil guijarros, el grupo llamado setecientos guijarros, el grupo llamado veinte guijarros y el grupo llamado ocho guijarros.

La proposición inversa de que la raíz cúbica de 1728 es 12, afirma que este gran agregado puede volver a descomponerse en las doce docenas de docenas de guijarros de que se compone.

Los modos de formación de cualquier número son innumerables; pero cuando conocemos un modo de formación de cada uno, todos los demás pueden determinarse deductivamente. Si sabemos que a se forma a partir de b y c, b a partir de a y e, c a partir de d y f, y así sucesivamente, hasta incluir todos los números de cualquier escala que elijamos (cuidando que para cada número el modo de formación sea realmente distinto, sin volver a los números anteriores, sino introduciendo uno nuevo), tenemos un conjunto de proposiciones a partir de las cuales podemos razonar hacia todos los demás modos de formación de esos números entre sí. Habiendo establecido una cadena de verdades inductivas que conectan todos los números de la escala, podemos averiguar la formación de cualquiera de esos números a partir de otro simplemente recorriendo la cadena de uno a otro. Supongamos que solo conocemos los siguientes modos de formación: 6=4+2, 4=7–3, 7=5+2, 5=9–4. Podríamos determinar cómo se forma 6 a partir de 9. Pues 6=4+2=7–3+2=5+2–3+2=9–4+2–3+2. Por tanto, puede formarse quitando 4 y 3, y sumando 2 y 2. Si además sabemos que 2+2=4, obtenemos 6 a partir de 9 de un modo más simple, quitando simplemente 3.

Por lo tanto, basta con seleccionar uno de los diversos modos de formación de cada número, como medio para conocer todos los demás. Y dado que las cosas que son uniformes, y por lo tanto simples, son las que más fácilmente son comprendidas y recordadas por el entendimiento, existe una ventaja evidente en escoger un modo de formación que sea igual para todos; en fijar la connotación de los nombres de los números sobre un principio uniforme. El modo en que se ha ideado nuestra nomenclatura numérica actual posee esta ventaja, con el beneficio adicional de que transmite al entendimiento dos de los modos de formación de cada número. Cada número es considerado como formado por la adición de una unidad al número inmediatamente inferior en magnitud, y este modo de formación se expresa por el lugar que ocupa en la serie. Y cada uno también es considerado como formado por la suma de una cantidad de unidades menor que diez, y una cantidad de agregados, cada uno igual a una de las sucesivas potencias de diez; y este modo de formación se expresa por su nombre hablado y por su carácter numérico.

Lo que convierte a la aritmética en el modelo de una ciencia deductiva es la afortunada aplicabilidad a ella de una ley tan amplia como "Las sumas de iguales son iguales"; o (para expresar el mismo principio en un lenguaje menos familiar pero más característico), Todo lo que está compuesto de partes, está compuesto de las partes de esas partes. Esta verdad, evidente a los sentidos en todos los casos que pueden ser justamente referidos a su juicio, y tan general como para ser coextensiva con la naturaleza misma, siendo verdadera para todo tipo de fenómenos (pues todos admiten ser numerados), debe considerarse una verdad inductiva, o ley de la naturaleza, del más alto orden. Y toda operación aritmética es una aplicación de esta ley, o de otras leyes que pueden deducirse de ella. Esta es nuestra garantía para todos los cálculos. Creemos que cinco y dos son igual a siete, basados en la evidencia de esta ley inductiva, combinada con las definiciones de esos números. Llegamos a esa conclusión (como bien saben quienes recuerdan cómo la aprendieron por primera vez) sumando una unidad a la vez: 5 + 1 = 6, por lo tanto 5 + 1 + 1 = 6 + 1 = 7; y además 2 = 1 + 1, por lo tanto 5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7.

§ 6. Por innumerables que sean las proposiciones verdaderas que pueden formarse acerca de números particulares, no podría obtenerse, solo a partir de ellas, una concepción adecuada de la magnitud de las verdades que componen la ciencia del número. Tales proposiciones como las que hemos mencionado son las menos generales de todas las verdades numéricas. Es cierto que incluso estas son coextensivas con toda la naturaleza; las propiedades del número cuatro son verdaderas para todos los objetos que pueden dividirse en cuatro partes iguales, y todos los objetos son, en realidad o en teoría, así divisibles. Pero las proposiciones que componen la ciencia del álgebra son verdaderas, no de un número particular, sino de todos los números; no de todas las cosas bajo la condición de ser divididas de una manera particular, sino de todas las cosas bajo la condición de ser divididas de cualquier manera—de ser designadas por un número en absoluto.

Dado que es imposible que diferentes números tengan completamente en común alguno de sus modos de formación, resulta una especie de paradoja decir que todas las proposiciones que pueden hacerse sobre los números se refieren a sus modos de formación a partir de otros números, y sin embargo que existen proposiciones que son verdaderas para todos los números. Pero esta misma paradoja conduce al verdadero principio de generalización respecto a las propiedades de los números. Dos números diferentes no pueden formarse de la misma manera a partir de los mismos números; pero pueden formarse de la misma manera a partir de números diferentes; así, nueve se forma a partir de tres multiplicándolo por sí mismo, y dieciséis se forma a partir de cuatro mediante el mismo proceso. Así surge una clasificación de modos de formación, o, en el lenguaje comúnmente usado por los matemáticos, una clasificación de Funciones. Cualquier número, considerado como formado a partir de otro número, se llama función de este; y existen tantos tipos de funciones como modos de formación. Las funciones simples no son en absoluto numerosas, la mayoría de las funciones se forman por la combinación de varias de las operaciones que forman funciones simples, o por repeticiones sucesivas de alguna de esas operaciones. Las funciones simples de cualquier número x se reducen a las siguientes formas: x+a, x–a, ax, x/a, log. x (en base a), y las mismas expresiones variando x por a y a por x, donde esa sustitución altere el valor: a lo que, quizá, deba añadirse sen x, y arc (sen = x). Todas las demás funciones de x se forman poniendo una o más de las funciones simples en el lugar de x o a, y sometiéndolas a las mismas operaciones elementales.

Para poder realizar razonamientos generales sobre el tema de las Funciones, necesitamos una nomenclatura que nos permita expresar dos números cualesquiera mediante nombres que, sin especificar qué números particulares son, muestren de qué función es cada uno del otro; o, en otras palabras, pongan en evidencia su modo de formación uno a partir del otro. El sistema de lenguaje general llamado notación algebraica cumple esta función. Las expresiones a y a2+3a denotan, una cualquier número, la otra el número formado a partir de él de una manera particular. Las expresiones a, b, n, y (a+b)n, denotan tres números cualesquiera, y un cuarto que se forma a partir de ellos de cierto modo.

El siguiente puede enunciarse como el problema general del cálculo algebraico: Siendo F una cierta función de un número dado, encontrar qué función será F de cualquier función de ese número. Por ejemplo, un binomio a + b es una función de sus dos partes a y b, y las partes son, a su vez, funciones de a + b: ahora bien, (a + b)n es una cierta función del binomio; ¿qué función será esta de a y b, las dos partes? La respuesta a esta pregunta es el teorema del binomio. La fórmula (a + b)n = an + n/1 an–1 b + n.n–1/1.2 an–2 b2, etc., muestra de qué manera el número que se forma multiplicando a + b por sí mismo n veces, podría formarse sin ese proceso, directamente a partir de a, b y n. Y de esta naturaleza son todos los teoremas de la ciencia del número. Afirman la identidad del resultado de diferentes modos de formación. Sostienen que algún modo de formación a partir de x, y algún modo de formación a partir de cierta función de x, producen el mismo número.

Tal como se ha descrito arriba, ese es el propósito y fin del cálculo. En cuanto a sus procesos, todos saben que son simplemente deductivos. Al demostrar un teorema algebraico, o al resolver una ecuación, pasamos del dato al quæsitum mediante puro razonamiento; en el que las únicas premisas introducidas, además de las hipótesis originales, son los axiomas fundamentales ya mencionados: que las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí, y que las sumas de cosas iguales son iguales. En cada paso de la demostración o del cálculo, aplicamos una u otra de estas verdades, o verdades deducibles de ellas, como que las diferencias, productos, etc., de números iguales son iguales.

Sería incompatible con la extensión de esta obra, y no es necesario para su propósito, llevar el análisis de las verdades y procesos del álgebra más allá; lo que además es menos necesario, ya que la tarea ha sido, en gran medida, realizada por otros autores. El Álgebra de Peacock y la Doctrina de los Límites del Dr. Whewell están llenos de enseñanzas sobre el tema. Los profundos tratados de un matemático verdaderamente filosófico, el profesor De Morgan, deberían ser estudiados por todo aquel que desee comprender la evidencia de las verdades matemáticas y el significado de los procesos más oscuros del cálculo, y las especulaciones de M. Comte, en su Curso de Filosofía Positiva, sobre la filosofía de las ramas superiores de las matemáticas, se cuentan entre los muchos valiosos aportes por los que la filosofía está en deuda con ese eminente pensador.

§ 7. Si la extrema generalidad y la lejanía, no tanto de los sentidos como de la imaginación visual y táctil, de las leyes del número, hacen que sea un esfuerzo de abstracción algo difícil concebir esas leyes como verdades físicas obtenidas por observación, esa misma dificultad no existe respecto a las leyes de la extensión. Los hechos de los que esas leyes son expresión son de un tipo particularmente accesible a los sentidos y sugieren imágenes sumamente nítidas a la fantasía. Que la geometría es una ciencia estrictamente física, sin duda habría sido reconocido en todas las épocas, de no ser por las ilusiones producidas por dos circunstancias. Una de ellas es la propiedad característica, ya mencionada, de los hechos de la geometría: que pueden ser recogidos de nuestras ideas o imágenes mentales de los objetos con la misma eficacia que de los objetos mismos. La otra es el carácter demostrativo de las verdades geométricas, que en algún momento se supuso constituía una distinción radical entre ellas y las verdades físicas; estas últimas, al descansar solo en evidencias probables, se consideraban esencialmente inciertas e imprecisas. Sin embargo, el avance del conocimiento ha dejado en claro que la ciencia física, en sus ramas mejor comprendidas, es tan demostrativa como la geometría. La tarea de deducir sus detalles a partir de unos pocos principios comparativamente simples resulta ser cualquier cosa menos la imposibilidad que antes se creía; y la noción de la superior certeza de la geometría es una ilusión, que surge del antiguo prejuicio que, en esa ciencia, confunde los datos ideales desde los que razonamos con una clase peculiar de realidades, mientras que los datos ideales correspondientes de cualquier ciencia física deductiva se reconocen como lo que realmente son: hipótesis.

Todo teorema en geometría es una ley de la naturaleza externa, y podría haber sido determinado mediante la generalización a partir de la observación y el experimento, que en este caso se reducen a comparación y medición. Pero se encontró que era factible, y siendo factible, era deseable, deducir estas verdades por medio del razonamiento a partir de un pequeño número de leyes generales de la naturaleza, cuya certeza y universalidad son evidentes incluso para el observador más descuidado, y que constituyen los primeros principios y premisas últimas de la ciencia. Entre estas leyes generales deben incluirse las mismas dos que hemos señalado como principios últimos de la Ciencia del Número, y que son aplicables a toda clase de cantidad; a saber: Las sumas de iguales son iguales, y Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí; esta última puede expresarse de manera que sugiera la inagotable multitud de sus consecuencias, en los siguientes términos: Todo lo que es igual a cualquiera de varias magnitudes iguales, es igual a cualquiera de las otras. A estas dos debe añadirse, en geometría, una tercera ley de igualdad, a saber: que las líneas, superficies o espacios sólidos que pueden aplicarse entre sí de modo que coincidan, son iguales. Algunos autores han afirmado que esta ley de la naturaleza es una simple definición verbal; que la expresión “magnitudes iguales” no significa otra cosa que magnitudes que pueden aplicarse entre sí de modo que coincidan. Pero no puedo estar de acuerdo con esta opinión. La igualdad de dos magnitudes geométricas no puede diferir fundamentalmente en su naturaleza de la igualdad de dos pesos, dos grados de calor o dos porciones de duración, a ninguna de las cuales sería adecuada esta definición de igualdad. Ninguna de estas cosas puede aplicarse entre sí de modo que coincidan, y sin embargo entendemos perfectamente lo que queremos decir cuando las llamamos iguales. Las cosas son iguales en magnitud, como lo son en peso, cuando se perciben exactamente similares respecto al atributo en que las comparamos: y la aplicación de los objetos entre sí en un caso, como el equilibrarlos en una balanza en el otro, no es más que una forma de ponerlos en una posición en la que nuestros sentidos puedan reconocer deficiencias de semejanza exacta que de otro modo pasarían inadvertidas.

Junto con estos tres principios generales o axiomas, el resto de las premisas de la geometría consiste en las llamadas definiciones: es decir, proposiciones que afirman la existencia real de los diversos objetos allí designados, junto con alguna propiedad de cada uno. En algunos casos se asume comúnmente más de una propiedad, pero en ningún caso es necesaria más de una. Se asume que existen en la naturaleza cosas como líneas rectas, y que cualesquiera dos de ellas que parten del mismo punto divergen cada vez más sin límite. Esta suposición (que incluye y va más allá del axioma de Euclides de que dos líneas rectas no pueden encerrar un espacio) es tan indispensable en geometría, y tan evidente, al descansar en una observación tan simple, familiar y universal, como cualquiera de los otros axiomas. También se asume que las líneas rectas divergen entre sí en distintos grados; en otras palabras, que existen cosas como ángulos, y que pueden ser iguales o desiguales. Se asume que existe algo llamado círculo, y que todos sus radios son iguales; cosas como elipses, y que las sumas de las distancias focales son iguales para cada punto de una elipse; cosas como líneas paralelas, y que esas líneas son siempre equidistantes.

§ 8. Es algo más que una curiosidad considerar a qué peculiaridad de las verdades físicas que son objeto de la geometría se debe el que todas puedan deducirse de tan reducido número de premisas originales; por qué es que podemos partir de una sola propiedad característica de cada tipo de fenómeno, y con esa y dos o tres verdades generales relativas a la igualdad, avanzar de marca en marca hasta obtener un vasto cuerpo de verdades derivadas, que a primera vista parecen sumamente distintas de aquellas elementales.

La explicación de este hecho notable parece residir en las siguientes circunstancias. En primer lugar, todas las cuestiones de posición y figura pueden resolverse en cuestiones de magnitud. La posición y figura de cualquier objeto se determinan al determinar la posición de un número suficiente de puntos en él; y la posición de cualquier punto puede determinarse por la magnitud de tres coordenadas rectangulares, es decir, de las perpendiculares trazadas desde el punto a tres planos en ángulo recto entre sí, seleccionados arbitrariamente. Mediante esta transformación de todas las cuestiones de cualidad en cuestiones únicamente de cantidad, la geometría se reduce al único problema de la medición de magnitudes, es decir, a la determinación de las igualdades que existen entre ellas. Ahora bien, si consideramos que, según uno de los axiomas generales, cualquier igualdad, una vez determinada, es prueba de tantas otras igualdades como cosas haya iguales a cualquiera de las dos iguales; y que, según otro de esos axiomas, cualquier igualdad determinada es prueba de la igualdad de tantos pares de magnitudes como puedan formarse mediante las numerosas operaciones que se reducen a la suma de los iguales entre sí o con otros iguales; dejamos de sorprendernos de que, en la medida en que una ciencia trata sobre la igualdad, deba ofrecer una provisión más abundante de marcas de marcas; y que las ciencias del número y de la extensión, que tratan casi exclusivamente de la igualdad, sean las más deductivas de todas las ciencias.

Existen también dos o tres de las principales leyes del espacio o la extensión que son especialmente aptas para hacer que una posición o magnitud sea indicio de otra, y así contribuyen a que la ciencia sea en gran medida deductiva. Primero, las magnitudes de los espacios cerrados, sean superficiales o sólidos, están completamente determinadas por las magnitudes de las líneas y ángulos que los delimitan. En segundo lugar, la longitud de cualquier línea, sea recta o curva, se mide (dándose ciertas otras cosas) por el ángulo que subtiende, y viceversa. Por último, el ángulo que forman entre sí dos líneas rectas en un punto inaccesible se mide por los ángulos que cada una de ellas forma con cualquier tercera línea que elijamos. Por medio de estas leyes generales, la medición de todas las líneas, ángulos y espacios podría lograrse midiendo una sola línea recta y un número suficiente de ángulos; este es el método que se sigue en el levantamiento trigonométrico de un país; y es afortunado que esto sea factible, ya que la medición exacta de largas líneas rectas es siempre difícil y a menudo imposible, pero la de los ángulos es muy sencilla. Tres generalizaciones como las anteriores ofrecen tales facilidades para la medición indirecta de magnitudes (al proporcionarnos líneas o ángulos conocidos que son indicios de la magnitud de otros desconocidos, y por tanto de los espacios que encierran), que resulta fácil entender cómo, a partir de unos pocos datos, podemos llegar a determinar la magnitud de una multitud indefinida de líneas, ángulos y espacios, que no podríamos medir fácilmente, o no podríamos medir en absoluto, por ningún método más directo.

§ 9. Tales son las observaciones que parece necesario hacer en este lugar, respecto a las leyes de la naturaleza que constituyen el tema particular de las ciencias del número y la extensión. Es bien conocido el papel inmenso que desempeñan esas leyes al conferir un carácter deductivo a los demás campos de la ciencia física; y no resulta sorprendente, si consideramos que todas las causas operan conforme a leyes matemáticas. El efecto depende siempre de, o es una función de, la cantidad del agente; y generalmente también de su posición. Por lo tanto, no podemos razonar sobre la causalidad sin introducir consideraciones de cantidad y extensión en cada paso; y si la naturaleza de los fenómenos permite obtener datos numéricos con suficiente precisión, las leyes de la cantidad se convierten en el gran instrumento para calcular hacia adelante un efecto, o hacia atrás una causa. Que en todas las demás ciencias, así como en la geometría, las cuestiones de calidad rara vez son independientes de las cuestiones de cantidad, puede verse en los fenómenos más familiares. Incluso cuando varios colores se mezclan en la paleta de un pintor, la cantidad comparativa de cada uno determina por completo el color de la mezcla.

Con esta simple sugerencia de las causas generales que hacen que los principios y procesos matemáticos sean tan predominantes en aquellas ciencias deductivas que ofrecen datos numéricos precisos, debo, en esta ocasión, darme por satisfecho; remitiendo al lector que desee un conocimiento más profundo del tema, a los dos primeros volúmenes de la obra sistemática del señor Comte.

En la misma obra, y más particularmente en el tercer volumen, también se discuten a fondo los límites de la aplicabilidad de los principios matemáticos para el perfeccionamiento de otras ciencias. Tales principios son manifiestamente inaplicables cuando las causas de las que dependen ciertas clases de fenómenos son tan poco accesibles a nuestra observación, que no podemos determinar, mediante una inducción adecuada, sus leyes numéricas; o cuando las causas son tan numerosas y se encuentran mezcladas de manera tan compleja entre sí, que aun suponiendo conocidas sus leyes, el cálculo del efecto total excede las capacidades del cálculo tal como es, o como probablemente será; o, por último, cuando las propias causas están en un estado de fluctuación perpetua; como en la fisiología, y aún más, si es posible, en la ciencia social. Las soluciones matemáticas de cuestiones físicas se vuelven progresivamente más difíciles e imperfectas, en la medida en que las cuestiones se despojan de su carácter abstracto e hipotético, y se acercan más al grado de complejidad que existe realmente en la naturaleza; tanto que, más allá de los límites de los fenómenos astronómicos, y de aquellos más análogos a ellos, la precisión matemática se obtiene generalmente “a expensas de la realidad de la investigación”; mientras que incluso en cuestiones astronómicas, “a pesar de la admirable simplicidad de sus elementos matemáticos, nuestra débil inteligencia se vuelve incapaz de seguir eficazmente las combinaciones lógicas de las leyes de las que dependen los fenómenos, tan pronto como intentamos considerar simultáneamente más de dos o tres influencias esenciales.” De esto, el problema de los Tres Cuerpos ya ha sido citado, más de una vez, como un ejemplo notable; la solución completa de una cuestión tan relativamente simple ha puesto en vano a prueba la habilidad de los matemáticos más profundos. Podemos concebir, entonces, cuán quimérica sería la esperanza de que los principios matemáticos pudieran aplicarse ventajosamente a fenómenos que dependen de la acción mutua de las innumerables partículas diminutas de los cuerpos, como los de la química, y aún más, los de la fisiología; y por razones similares, esos principios siguen siendo inaplicables a las investigaciones aún más complejas, cuyos temas son los fenómenos de la sociedad y el gobierno.

El valor de la instrucción matemática como preparación para esas investigaciones más difíciles consiste en la aplicabilidad no de sus doctrinas, sino de su método. Las matemáticas seguirán siendo siempre el tipo más perfecto del Método Deductivo en general; y las aplicaciones de las matemáticas a las ramas deductivas de la física constituyen la única escuela en la que los filósofos pueden aprender eficazmente la parte más difícil e importante de su arte, el empleo de las leyes de los fenómenos más simples para explicar y predecir los de los más complejos. Estas razones son más que suficientes para considerar la formación matemática como una base indispensable de la verdadera educación científica, y para considerar (según el dictamen que una antigua pero no auténtica tradición atribuye a Platón) a quien es ἀγεωμέτρητος, como alguien carente de una de las cualificaciones más esenciales para el cultivo exitoso de las ramas superiores de la filosofía.